Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если произвольное состояние, которому соответствует функция f(z), обозначить через \f), то уравнение (4.4) можно переписать в следующем виде:
!/> =/(at) j 0>. (4.6)
Для получения разложения | / ) по состояниям |а) умножим состояние | f) на единичный оператор в представлении (4.3):
1^> = 1Г I I а> <а i / (at) I °> d2(X-
Поскольку (а | / (а+) = (а | / (а*), это выражение сводится к следующему:
|tt> / (a*) e~V2 lal2 d2a, (4.7)
которое и является разложением желаемого типа.
Следует отметить, что разложение (4.7) легко обратить и получить явное выражение для функции f (а *), которая соответствует
произвольному вектору | /). Для этого умножим скалярно обе части
равенства (4.7) на когерентное состояние <|3 | и используем выра-
жение (3.32) для вычисления скалярного произведения (Р | а);
<р I /> = JL е-1'* М* J ер*а-|а|2 f (а*) d2a (4 8)
Поскольку функцию /(а*) можно разложить в сходящийся степенной ряд, то имеет место соотношение
JL ^ gP*a—|a|2 (a*)n d2a = ф*)п) (4.9)
из которого получается более общее тождество
JL J ee*“-M2/(a*)d2a = f ф*). (4Л0)
Подставляя последнее тождество в уравнение (4.8), находим, что
/(Р*) = е1/* iPi2 (Р | /). (4.11)
Таким образом, имеется однозначное соответствие между функциями /(а*), которые играют роль коэффициентов разложения в (4.7), и векторами |f), описывающими состояния осциллятора.
Для векторов сопряженных состояний также существует разложение, аналогичное (4.7). Если g(a*) есть целая функция а*, то для состояния (g | можно построить разложение
<? I=4- S г* (р*)1* ф I е~1/2 |р|г (4-i2)
Отсюда скалярное произведение состояний (g| и |/) равно (g\f) = лг2 ^ [g (Р*)]* f (a*) eP*a-|ai2-lPI2 d2а срр.
Выполняя здесь интегрирование по переменной а с помощью тождества (4.10), получаем
(g\f) = ^r \ [?(Р*)]*/(Р*)<НР1М2Р. (4.13)
JL
Данное выражение для скалярного произведения двух векторов по существу являлось исходным при рассмотрении Баргманном *) гильбертова пространства функций f (z).
С математической точки зрения интересно, что когерентные состояния | а) не являются линейно независимыми, как это имеет место для членов полного ортогонального набора. Так, например, разложение (4.7) можно использовать для выражения любого данного когерентного состояния через линейную комбинацию осталь-
1) Некоторые из доказательств Баргманна обобщены Швебером [И], который использовал их в связи с формулировкой квантовой механики с помощью фейнмановских амплитуд.
ных, т. е. на основании выражений (4.11) и (3.32) можно записать
Существует также много других типов линейной зависимости между состояниями |а). Отметим, например, соотношение
которое справедливо для всех целых п > 0. Из последних результатов ясно, что если бы мы использовали в качестве коэффициентов разложения в (4.7) более общие функции, чем f (а*), скажем функции F (а, а*), то дополнительно появилось бы много других способов разложения произвольного состояния по когерентным состояниям. Но именно неявное ограничение, накладываемое на разложение (4.7) (разлагаемая функция должна аналитически зависеть от переменной а*), приводит к тому, что разложение является однозначным. Достоинство же разложения с однозначно определяемыми коэффициентами очевидно. Кроме того, появляется возможность с помощью обращения разложения [как при получении (4.11)] построить явное решение для коэффициентов разложения произвольного состояния, независимо от того, в каком представлении оно было дано первоначально.
5. Разложение операторов по векторам когерентных
состояний
Наши знания о собственных состояниях осциллятора практически редко бывают достаточными для того, чтобы можно было определить его квантовое состояние. Вместо этого мы должны описывать их с помощью суперпозиции состояний, которые выражаются через оператор плотности. Те же самые причины, которые привели нас к необходимости разложения произвольных состояний по когерентным состояниям, делают необходимым получение разложения оператора плотности по этим состояниям. В этом разделе исследование начинается с рассмотрения довольно общего класса операторов, а в следующем — будет рассмотрен частный случай оператора плотности.
Квантовомеханический оператор Т в общем случае можно выразить через его матричные элементы, связывающие состояния с фиксированным числом квантов:
! а) = — \ IP) eP*a-V* |а|*-1/2 131* d2p.
Я .1
(4.14)
[ | а) а”е~1/2 lai2 d2a = 0,
(4.15)
Т= 2 \n)Tnm{tn\,
(5.1)
(5.2)
п, m
Т=2тпт (пШ)-у2 (atf 10) (0 I am.
Если это выражение использовать для вычисления матричных элементов, связывающих два когерентных состояния (а | и ф|, то получим
