Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 33

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 76 >> Следующая


Если произвольное состояние, которому соответствует функция f(z), обозначить через \f), то уравнение (4.4) можно переписать в следующем виде:

!/> =/(at) j 0>. (4.6)

Для получения разложения | / ) по состояниям |а) умножим состояние | f) на единичный оператор в представлении (4.3):

1^> = 1Г I I а> <а i / (at) I °> d2(X-

Поскольку (а | / (а+) = (а | / (а*), это выражение сводится к следующему:

|tt> / (a*) e~V2 lal2 d2a, (4.7)

которое и является разложением желаемого типа.

Следует отметить, что разложение (4.7) легко обратить и получить явное выражение для функции f (а *), которая соответствует

произвольному вектору | /). Для этого умножим скалярно обе части

равенства (4.7) на когерентное состояние <|3 | и используем выра-
жение (3.32) для вычисления скалярного произведения (Р | а);

<р I /> = JL е-1'* М* J ер*а-|а|2 f (а*) d2a (4 8)

Поскольку функцию /(а*) можно разложить в сходящийся степенной ряд, то имеет место соотношение

JL ^ gP*a—|a|2 (a*)n d2a = ф*)п) (4.9)

из которого получается более общее тождество

JL J ee*“-M2/(a*)d2a = f ф*). (4Л0)

Подставляя последнее тождество в уравнение (4.8), находим, что

/(Р*) = е1/* iPi2 (Р | /). (4.11)

Таким образом, имеется однозначное соответствие между функциями /(а*), которые играют роль коэффициентов разложения в (4.7), и векторами |f), описывающими состояния осциллятора.

Для векторов сопряженных состояний также существует разложение, аналогичное (4.7). Если g(a*) есть целая функция а*, то для состояния (g | можно построить разложение

<? I=4- S г* (р*)1* ф I е~1/2 |р|г (4-i2)

Отсюда скалярное произведение состояний (g| и |/) равно (g\f) = лг2 ^ [g (Р*)]* f (a*) eP*a-|ai2-lPI2 d2а срр.

Выполняя здесь интегрирование по переменной а с помощью тождества (4.10), получаем

(g\f) = ^r \ [?(Р*)]*/(Р*)<НР1М2Р. (4.13)

JL

Данное выражение для скалярного произведения двух векторов по существу являлось исходным при рассмотрении Баргманном *) гильбертова пространства функций f (z).

С математической точки зрения интересно, что когерентные состояния | а) не являются линейно независимыми, как это имеет место для членов полного ортогонального набора. Так, например, разложение (4.7) можно использовать для выражения любого данного когерентного состояния через линейную комбинацию осталь-

1) Некоторые из доказательств Баргманна обобщены Швебером [И], который использовал их в связи с формулировкой квантовой механики с помощью фейнмановских амплитуд.
ных, т. е. на основании выражений (4.11) и (3.32) можно записать

Существует также много других типов линейной зависимости между состояниями |а). Отметим, например, соотношение

которое справедливо для всех целых п > 0. Из последних результатов ясно, что если бы мы использовали в качестве коэффициентов разложения в (4.7) более общие функции, чем f (а*), скажем функции F (а, а*), то дополнительно появилось бы много других способов разложения произвольного состояния по когерентным состояниям. Но именно неявное ограничение, накладываемое на разложение (4.7) (разлагаемая функция должна аналитически зависеть от переменной а*), приводит к тому, что разложение является однозначным. Достоинство же разложения с однозначно определяемыми коэффициентами очевидно. Кроме того, появляется возможность с помощью обращения разложения [как при получении (4.11)] построить явное решение для коэффициентов разложения произвольного состояния, независимо от того, в каком представлении оно было дано первоначально.

5. Разложение операторов по векторам когерентных

состояний

Наши знания о собственных состояниях осциллятора практически редко бывают достаточными для того, чтобы можно было определить его квантовое состояние. Вместо этого мы должны описывать их с помощью суперпозиции состояний, которые выражаются через оператор плотности. Те же самые причины, которые привели нас к необходимости разложения произвольных состояний по когерентным состояниям, делают необходимым получение разложения оператора плотности по этим состояниям. В этом разделе исследование начинается с рассмотрения довольно общего класса операторов, а в следующем — будет рассмотрен частный случай оператора плотности.

Квантовомеханический оператор Т в общем случае можно выразить через его матричные элементы, связывающие состояния с фиксированным числом квантов:

! а) = — \ IP) eP*a-V* |а|*-1/2 131* d2p.

Я .1

(4.14)

[ | а) а”е~1/2 lai2 d2a = 0,

(4.15)

Т= 2 \n)Tnm{tn\,

(5.1)

(5.2)

п, m

Т=2тпт (пШ)-у2 (atf 10) (0 I am.
Если это выражение использовать для вычисления матричных элементов, связывающих два когерентных состояния (а | и ф|, то получим
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 76 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed