Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение для оператора плотности, соответствующего тепловому возбуждению осциллятора, через когерентные квантовые состояния дает новый и плодотворный подход ко многим известным проблемам. Например, оно позволяет нам простым путем получать средние от экспоненциальных функций операторов а и w при тепловом возбуждении. Для иллюстрации найдем среднее от оператора D (Р), определяемого равенством (3.17). Оно равно
Sp {qD (Р)} = ^ J е-№/<п> (a | О (Р) | a) d2a. (8.13)
В этом случае ожидаемое значение оператора D(P) в подынтегральном выражении имеет вид
(а | D (Р) | а) = (О I D'1 (a) D (Р) D (а) | 0) =
= ехр [Ра* — Р*а] <0 | D (Р) 10) =
= ехр [Ра* — Р*а] <0 | Р) =
= ехр [ра* —Р*а —^|Р|2] . (8.14)
При вычислении этого выражения использовались свойства оператора D (а), являющегося оператором сдвига. После вычисления интеграла в (8.13) получаем
Sp{eD(P)} = exp [ — | Р |2 + ] - (8.15)
*) Для частот, лежащих в середине видимого спектра, и для температур ниже 3000s К квантовомеханическое распределение (8.11) имеет радиус, соответствующий | а |2 10~3, т. е. распределение далеко от классического.
Распределения для нетепловых некогерентных источников характеризуются радиусами, сравнимыми по величине с указанным.
которое является следствием теоремы Блоха о функции распреде-
ления координаты осциллятора [16] и часто используется на
практике.
9. Оператор плотности для поля
Все результаты, полученные в разделах 3—8, относились к описанию квантового состояния одной моды электромагнитного поля. Для описания поля как целого необходимы аналогичные методы, которые сразу бы учитывали все его моды. С этой целью введем базисный набор когерентных состояний для всего поля
|(ал}! = П I ah)ki (9.1)
h
где символ {ай}, который будет использоваться и для других целей, обозначает набор всех амплитуд аА. Тогда из результатов раздела 4 следует, что произвольное состояние поля однозначно определяет функцию f ({а*}), которая является целой функцией каждой переменной а*. Если известен вектор в гильбертовом пространстве (обозначим его | /)), представляющий это состояние, то функция / дается выражением
/ ({«*}) = ({«*} /> ехр 2 I а* I2) > (9-2)
k
которое является непосредственным обобщением равенства (4.11). Тогда разложение состояния | /> по когерентным состояниям, которое обобщает равенство (4.7), имеет следующий вид:
I /> = 5 I Ы > / (К» П я-%-1/2!а^2 d*а*. (9.3)
k
Все операторы, встречающиеся в теории поля, можно разложить по векторам | {aft} | и их сопряженным значениям. Построение таких представлений является простым обобщением формул, полученных в разделе 5, на случай бесконечного набора амплитудных переменных. Поэтому мы сразу же перейдем к рассмотрению оператора плотности. Для произвольного оператора плотности q можно определить функцию R ({a*}, {Р*}), которая является целой функцией каждой из переменных а* и рА для всех мод k. Как видно из (6.1), эта функция дается выражением
?({«?}, Ш) = <Ы|е1Ш>х
хехр [у2 (Ы2 + 1Р*Г)] • (9-4)
Отсюда соответствующее представление оператора плотности
имеет вид
е= [ \{ah})R({a*h), {pft» ({pft> I Д jT2 X
h
X е-Ш1аь]г+1^2)d2akd2$h. (9.5>
Если для обозначения обычных стационарных состояний с пц, фотонами в fe-й моде использовать набор целых чисел {мд}, то R можно рассматривать как производящую функцию для матричных элементов q, связывающих эти состояния; обобщая соотношение (6.2), получаем
Ш)= 2 <Ы1е|{«л})х
{ПД}, {mk}
хП Ытк\Г1/2№п%К (9.6)
к
В стационарном базисе матричные элементы q определяются следующим образом:
({«а} I е \{Ы) =
= J R ({a*h}, {J3ft}) Д я-2 (nh\mh\ylhakh (PJ)m* x
k
X e_(,aft12+lf!ft!2) d2ak (9.7)
Ясно, что функция R обладает при этом следующей нормировкой:
J R ({pj}, {М Д n-ie-'P*1' d2J3ft = 1. (9.8)
к
Условие положительной определенности (6.9) также можно обобщить на случай полного набора амплитудных переменных.
В качестве простой иллюстрации предыдущих формул полезно рассмотреть представление однофотонного волнового пакета. Для состояния, в котором нет фотонов, исчезают все амплитуды aft. Если это состояние обозначить через | vac), то наиболее общее
