Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Использование Р-представления оператора плотности для описания полей приводит многие результаты квантовой электродинамики к виду, аналогичному результатам классической теории. Хотя в этих аналогиях особенно наглядно проявляется принцип соответствия, однако на этом основании нельзя считать, что классическая теория является сколько-нибудь адекватной заменой квантовой теории. Весовые функции Р (а), использующиеся в теории, нельзя строго интерпретировать как распределения вероятности. Они также не выводятся, как правило, из классического описания источников излучения. С помощью классического или полукласси-ческого анализа вообще нельзя понять их зависимость от постоянной Планка.
Поскольку в прошлом целый ряд вычислений, связанных со статистикой фотонов, был произведен существенно классическими методами, то, вероятно, полезно несколько глубже рассмотреть
связь между P-представлением и классической теорией. В частности, следует отметить, что определение амплитуды а как собственного-значения оператора аннигиляции присуще только квантовой механике. Если мы хотим представить амплитуду моды данного классического поля как собственное значение, то из (2.20) получаем, что величина соответствующего значения а пропорциональна %~1/г. При использовании безразмерных величин, с помощью которых и определена величина а, классическое описание моды применимо только в той области комплексной a-плоскости, где | а | > 1, т. е. к амплитудам колебаний, большим по сравнению с нулевыми флуктуациями, входящими в волновые пакеты (3.29) и (3.30). Поэтому классическая теория в принципе может дать нам только самое грубое представление о весовой функции Р (а). Когда аргумент весовой функции явно попадает в классическую область комплексной плоскости, то, грубо говоря, из классической теории можно получить только среднее значение функции Р (а) на площади, размеры которой | Да | порядка единицы или больше. Такие средние значения, как видно из неравенства (7.10), будут всегда положительными; следовательно, в классическом пределе их всегда можно интерпретировать как вероятности.
8. Гауссов оператор плотности
Гауссова функция является статистическим распределением, давно известным из классической статистики. В данном разделе будет показано, что это распределение используется также и в квантовой теории поля, где оно естественным образом описывает наиболее часто встречающийся тип некогерентности [1 ].
Предположим, что изучаемая мода поля связана с целым рядом источников, которые в основном подобны, но ведут себя статистически независимо. Практически такими источниками могут являться разные части одного большого источника. Если вклад от каждого источника (/ = 1 ... N) в возбуждение моды можно представить весовой функцией р (а,), то с помощью обобщенной теоремы о свертке функций можно построить весовую функцию Р (а), которая описывает суперпозиционное поле
N 1V
р (а)= §б<2> 0х а0 П p(aj)d2aj- (8Л>
3 = 1 3=1
Поскольку весовые функции, входящие в это выражение, действительны, то иногда удобно рассматривать амплитуды а не как комплексные числа, а как двумерные действительные векторы а (т. е. ах = Re а, ау — Im а). Тогда если к — произвольное комплексное число, представляемое вектором к, то для сокращения,
записи можно использовать двумерное скалярное произведение
Re к Re а + Im к 1ш а = а-к. (8.2)
Используя эту систему обозначений, двумерное фурье-преобразо-вание весовой функции р(а) можно определить следующим образом:
ё(^)= ^ eiXap(a) d2a. (8.3)
Из закона суперпозиции (8.1) следует, что фурье-преобразование функции Р (а) дается выражением
S(А,) = J e^-aP(a)d2a=,[l(k)]N. (8.4)
Если отдельные источники стационарны, то их весовые функции р (а) зависят только от | а |. Поэтому функцию преобразования
I (Я) при малых значениях | к | можно аппроксимировать выражением
В 00 = 1-1 I а |2 Р (а) d2a = 1 —X2 (| а j2). (8.5)
При достаточно малых значениях | к | (т. е. при | к |2 С N~1/2 (|а j2)-1) преобразование S для суперпозиционного поля можно аппроксимировать следующим образом:
S(k) (8.6)
Однако весовая функция р (а) может принимать и отрицательные значения, поэтому здесь необходимо удостовериться в том, что момент второго порядка (| а |2) является положительным. Из выражений (7.22) и (7.23) видно, что величина (| а |2) равна среднему числу фотонов, которые излучал бы каждый источник при отсутствии остальных, поэтому момент второго порядка действительно является положительной величиной. Следовательно, для больших значений N преобразование Н (^,) быстро убывает по мере роста | к |. Так как эта функция становится исчезающе малой при значениях •) к |, лежащих вне области, где определены указанные приближения, то выражение (8.6) можно использовать в общем случае как асимптотическое приближение для Е (^,) при больших N. Пользуясь этим асимптотическим выражением для S (к), получаем
