Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Одно из свойств когерентных состояний | а), которое становится очевидным при использовании указанного представления волновых функций, заключается в том, что два таких состояния в общем случае не ортогональны. Если, например, мы рассмотрим волновые функции (q' | а) и (q1 | а') для значений а', близких к а, то очевидно, что эти функции аналогичны по форме и значительно перекрываются друг с другом. Однако для значений а' и а, достаточно отличающихся друг от друга, перекрытие волновых функций в лучшем случае весьма мало. Поэтому можно ожидать, что скалярное произведение (а | а'), которое равно единице при а = = а', будет уменьшаться по абсолютной величине по мере удаления а' от а в комплексной плоскости. Если применить представления (3.7) и (3.8), то это скалярное произведение можно вычислить более просто, чем при использовании волновых функций. В этом случае получаем выражение
которое из-за ортонормированности состояний | п) сводится к следующему:
Абсолютное значение скалярного произведения дае тся выражением
которое показывает, что когерентные состояния становятся приблизительно ортогональными для достаточно различающихся значений аи^. Тот факт, что эти состояния даже приблизительно не ортогональны при значениях | а — р | порядка единицы, можно рассматривать как результат перекрытия волновых функций, вызванного наличием нулевых флуктуаций.
Поскольку когерентные состояния не образуют ортогонального набора функций, они привлекали мало внимания в качестве возможной системы базисных векторов для разложения произвольных
(а | Р) = еlaia-Vs №1».
(3.32)
(3.33)
состояний1). Однако в следующем разделе показывается, что можно легко получить такие разложения, и притом однозначные, и что они обладают исключительно полезными свойствами. В последующих разделах, обобщая методику на билинейные комбинации состояний | а) и < Р |, мы получим также аналогичные разложения для операторов [1].
4. Разложение произвольных состояний по когерентным состояниям
Хотя ортогональность набора базисных состояний очень удобное свойство, однако оно не является необходимым. Существенное же свойство такого набора заключается в его полноте. Нетрудно показать, что набор когерентных состояний | а) одномодового осциллятора является полным. Для доказательства необходимо только показать, что единичный оператор можно выразить через соответствующую сумму или интеграл по комплексной a-плоскости проекционных операторов типа | а) (а |. Для описания таких интегралов введем дифференциальный элемент площади в а-плоскости
d2a = d(Re a) d (Im а) (4.1)
(элемент d2а действителен). Если записать a = |a|eie, то можно легко доказать интегральное тождество
ОО 2л
^ (a*)"ame_la|2 d2a= ^ | a |n+m+1e"|a|2 d | a | ^ el (m~n) 0 dQ—nn\ 6nm, (4.2)
о о
в котором интегрирование производится по всей комплексной плоскости. С помощью этого тождества и разложений (3.7) и (3.8) для когерентных состояний сразу же можно показать, что
^ | а) (а | d2а = л 2 I п) (п !•
П
Известно, что n-квантовые состояния образуют полный ортонор-мированный набор функций, поэтому указанная сумма по п просто равна единичному оператору. Следовательно [1],
-i- ^ | а) (а | d2a = 1, (4.3)
что является соотношением полноты для когерентных состояний.
х) Однако эти состояния использовались Швингером в качестве про' изводящей функции для я-квантовых состояний [8].
Произвольное состояние осциллятора должно обладать разложением по л-квантовым состояниям следующего вида:
|> = 2с„|Л>-2С»-^|0>, (4.4)
п п
где 2|сп|2=1. Ряд в выражении (4.4) можно использовать для определения функции / комплексного переменного г
№>-2с”<^7Г- <4'5>
Из условия нормировки сп ясно, что этот ряд сходится для всех конечных г и, следовательно, представляет функцию, аналитическую в конечной области комплексной плоскости. Функции/(г), для которых 2 \ са |2 = 1, мы будем называть набором нормированных целых функций. Очевидно, что между такими целыми функциями и состояниями осциллятора существует взаимно однозначное
соответствие. Один из методов описания осциллятора заключается
в том, что сами функции f (z) рассматриваются как элементы гильбертова пространства. Свойства этого пространства и проводимых в нем разложений детально изучались в работах Сегала [9] и Барг-манна [10]. Для разложения произвольных состояний по когерентным состояниям мы будем использовать метод, который является простым обобщением обычного метода преобразования базисных состояний в квантовой механике. Очевидно, что это эквивалентно одному из разложений, полученных Баргманном.
