Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Глаубер Р. -> "Оптическая когерентность и статистика фотонов" -> 37

Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.

Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов — М.: Мир, 1966. — 189 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskayakognetivnostfotonov1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 76 >> Следующая


J [ / (а*) |2 Р (a) e-ia|2 d2a > 0> (7.9)

которое должно быть справедливым для всех целых функций. В частности, если выбрать

f (a*) = 1/2iPi2,

то приходим к простому условию, которое должно быть справедливо для всех комплексных значений р,

J P(a)e-I“-Pi2d2a>0. (7.10)

'Это условие соответствует требованию (PI Q | Р) > 0. Если бы функция Р (а) представляла плотность вероятности, то она была бы положительной и полученные неравенства выполнялись бы автоматически. Однако эти неравенства не являются достаточно строгими, чтобы исключить для Р (а) возможность принимать отрицательные значения в некоторой ограниченной соответствующим образом области плоскости 1).Этот результат показывает, что в общем случае весовую функцию Р (а) нельзя интерпретировать как плотность вероятности2).

Если оператор плотности задан в Я-представлении, то его матричные элементы определяются выражением

(п | Q \т) — ^ Р(а) (п | a) (а [ т) d2a. " (7.11)

Скалярные произведения в подынтегральном выражении можно вычислить с помощью (3.3) и (3.6). В этом случае получаем

(п [ g J т) = (n!m!)_1/2 ^ Р (а)ап(а*)т е~',а[2 d2a. (7.12)

х) Пример весовой функцйи Р (а), которая принимает отрицательные значения, но приводит к положительно-определенному оператору плотности, дается выражением Р (а) — (1 + А,) (яп) ~хе~~ I a 12/п — М)(2> (к) для п > 0 и л-1. Видно, что матричное представление соответствующего опе-

ратора плотности, определяемое выражением (7.12), диагонально и имеет только положительные собственные значения.

2) Примером такой функции, которая играет роль, аналогичную плотности вероятности, но может принимать отрицательные значения в квантовомеханическом смысле, является функция распределения Вигнера [13].
Матрица плотности в таком виде дает основные свойства полей, которые наиболее удобно описывать в P-представлении. Если Р (а) — весовая функция, сингулярности которой не сильнее сингулярности б-функции, то в общем случае она будет обладать неисчезающими комплексными моментами произвольно высокого порядка. [Единственное исключение составляет функция Р (а) = = б2 (а), которая соответствует основному состоянию моды.] Из этого следует, что диагональные матричные элементы (п |q| п), которые представляют вероятность нахождения п фотонов в моде, имеют ненулевые значения для произвольно больших п. Таким образом, если функция Р (а) ведет себя достаточно хорошо в указанном выше смысле, то нет ограничения сверху на число фотонов, имеющихся в моде *).

В P-представлении стационарные операторы плотности соответствуют функциям Р (а), которые зависят только от | а |. Это следует из выражения (7.2), которое показывает, что такие функции Р (а) приводят к функциям R ((J*, у), не изменяющимся при изменении общей фазы р и у. Это также хорошо видно и из соотношения (7.12), которое показывает, что (я | q | т) приводится к диагональному виду, когда весовая функция не зависит от фазы.

Некоторое понятие о практическом значении Р-представления для оператора плотности можно получить, рассматривая суперпозицию полей, создаваемых различными источниками. Поскольку нас интересует пока поведение только одной моды поля, то мы будем иметь дело лишь с отдельными аспектами полной задачи, хотя аналогичным образом можно исследовать и поведение всех мод. Рассмотрим суперпозицию полей от двух различных неустано-вившихся источников излучения, связанных с модой поля, которые могут включаться и выключаться раздельно. Предположим, что в момент времени t\ включается первый источник, который переводит осциллятор поля из его основного состояния | 0) в когерентное состояние | а.±). Если к моменту времени t2 этот источник перестает излучать, то для всех более поздних моментов времени поле остается в состоянии | сц). С равным успехом можно считать, что первый источник остается выключенным, а в момент времени tz включается второй источник. Далее, предположим, что второй источник переводит осциллятор из его основного состояния в когерентное состояние | а2). Возникает вопрос, в какое состояние перейдет осциллятор

*¦) Оператор плотности для полей, у которых максимальное число фотонов в моде ограничено числом N, представляется функциями R ((3*, у), которые являются полиномами N-й степени по (3* и у. Из поведения таких полиномов при больших | (3 | и | у | следует, что любая весовая функция Р (а), которая на основании (7.2) соответствует R (|3*, у), должна обладать сингулярностями более сильными, чем сингулярность б-функции. Такие поля, вероятно, наиболее удобно описывать с помощью ^-функций.
поля, если допустить, что два источника начинают действовать последовательно: первый в момент tx, а второй в момент t2.

Ответ на вопрос в этом простом случае можно получить, не делая никаких детальных вычислений, а пользуясь унитарным оператором сдвига, рассмотренным в разделе 2. Действие первого источника представляется унитарным оператором D (с^), который осуществляет сдвиг состояния осциллятора из основного в когерентное | ad) = D (ad) | 0). Действие же второго источника представляется оператором сдвига D (а2), так что при включении его после первого источника он переводит осциллятор в суперпозиционное состояние
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 76 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed