Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
J j (г, 0 - А (г, t)dr. (9.16)
Введение явно зависящего от времени взаимодействия означает, что вектор состояния поля |), который раньше был фиксированным (что совтветствует представлению Гейзенберга), начнет изменяться во времени согласно уравнению Шредингера, которое соответствует представлению взаимодействия
i%lI\) = Hi(t)\). (9.17)
Легко получить решение такого уравнения [18]. Предположим, что в начальном состоянии поля в момент t = — оо фотонов нет. Тогда состояние поля в момент времени t можно записать в виде t
|0 = exp|^^ dt' ^ j (г, 0’А(г, О* + йр(0} | vac), (9.18)
— ОО
причем функция qp (t) есть действительная фазовая функция (с-чис-ло). Это выражение легко вычисляется, но поскольку произведение | t) (t | оказывается равным нулю, оно не имеет отношения к построению оператора плотности. Экспоненциальный оператор в (9.18) очень просто выражается через операторы сдвига, рассмотренные в разделе 3. Для этого определим оператор сдвига Dk для &-й моды
Dh{§h) = eha*~**ah. (9.19)
Тогда, если учесть разложение векторного потенциала (2.10),
можно написать следующее соотношение: t
ехр J dt’ \ j (г, П-А(г, t’)dr} Y[Dk[ak(t)], (9.20)
— «50 h
в котором зависящие от времени амплитуды ah(t) даются выражением
i
ai, (t) = ¦—тгj-2 J dt' J druj(r)-j(r, t')elat'. (9.21)
— oo
Поэтому оператор плотности в момент времени t можно записать в виде
ю <*| = Па> [ад (/)] | vac) (vac j [ct& (/)] (9.22)
h h
Ю </1 = (0}> <{«ft (0} I- (9.23)
Другими словами, излучение произвольного распределения тока всегда приводит к чистому когерентному состоянию.
Теперь предположим, что распределение тока j (г, t) не является полностью определенным (это всего лишь небольшое обобщение только что рассмотренной модели). В этом случае амплитуды ah (t), определяемые выражением (9.21), становятся случайными переменными, которые описываются функцией распределения вероятности [обозначим ее р ({ай}, t)]. Оператор плотности для поля, создаваемого таким хаотическим током, принимает вид
Q (t) = ^ р ({aft}, t) | {ак}) {{ah} | J"[ d2ah. (9.24)
k
Отсюда можно видеть, что оператор плотности для поля, излучаемого хаотическим током, который не испытывает обратной реакции излучения, всегда имеет вид Р-представления (9.12). В этом случае весовую функцию действительно можно интерпретировать как распределение вероятности; она имеет классическую структуру, непосредственно связанную со свойствами излучающего тока, а не с данными (неортогональными) состояниями поля. Допущение,
которое мы ввели при определении данной модели (нет обратной
реакции поля излучения), является весьма сильным, но оно довольно хорошо выполняется для излучающих систем радиодиапазона и СВЧ. Поля, создаваемые такими системами, должны точно описываться оператором плотности (9.24).
10. Корреляционные и когерентные свойства поля
Любое собственное значение % (гt), которое удовлетворяет соответствующим уравнениям поля и содержит только положи-тельно-частотные члены, однозначно определяет набор амплитуд {aft} для данной моды [см. (2.20)]. Набор же этих амплитуд определяет когерентное состояние поля |{aft}) так, что
Е<+) (rt) | {aft}) = % (rt) | {ah})- (10.1)
Для рассмотрения общего вида, который функции корреляции поля принимают в таких состояниях, удобно заменить набор координат (rj,*tj) одним символом xj. Тогда функция корреляции п-го порядка определится следующим образом [3]:
4ь..ц,„ (*i .. • х2п) = Sp {qE(Xl) ...
... 4"» (Хп) 4^1 (*»+i) . • • Е\+1 Ы). (10.2)
Оператор^ плотности для когерентного состояния, определяемого уравнением (10.1), есть проекционный оператор
е = I {«а» <{«*> I- (Ю.з)
Для этого оператора из уравнения (10.1) и ему эрмитово-сопряженного вытекает, что корреляционные функции приводятся к факторизованному виду
п 2 п
(%?...»шп(Х1 ...*2п)= П Stt(Xj) П ^(Х,). (10.4)
3=1 1 = п+1
Другими словами, поле, обладающее состояниями |{aft} ), в соответствии с данным ранее определением [3] удовлетворяет условиям полной когерентности.
Следует отметить, что к корреляционным функциям (10.4) приводят не только состояния |{aft}). Действительно, рассмотрим состояние с набором амплитуд {е{фаft}, которое отличается от использованного ранее общим фазовым множителем (фаза ф действительна и не зависит от k). Тогда соответствующие собственные значения переходят в е{Щ (rt), но корреляционная функция (10.4) при этом не изменяется. Из данного свойства инвариантности корреляционных функций ясно следует, что некоторая суперпозиция когерентных состояний приводит к тому же самому набору функций. Таким образом, если состояние |{aft}) определяется уравнением (10.1) и X (ф) является произвольной действительной функцией ф с нормировкой
