Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Р(а) = (2пГ2 J e-ia.^Wd^ = __l__e-aViV<,ai2>. (8J)
Для такой весовой функции среднее значение | а |2, очевидно, есть N <| а |2), но на основании общей теоремы [см. (7.23)] это среднее значение как раз равно среднему значению общего числа квантов, имеющихся в моде. Если это среднее значение обозначить
через (rt) и вновь воспользоваться комплексной системой обозначе-
ний для переменной а, то весовую функцию (8.7) можно записать
следующим образом:
p(a) = We“la!2/<n>- (8-8)
Весовая функция Р (а) положительна при любых значениях аргумента и имеет такой же вид, как и распределение вероятности для полного отклонения, обусловленного случайным разбросом в комплексной плоскости. Однако из-за того, что когерентные состояния | а) не образуют ортогонального набора, Р (а) можно точно интерпретировать как распределение вероятности только при (я) > 1. Отметим также, что для получения соотношения (8.8) не обязательно предполагать, что весовые функции, соответствующие отдельным источникам, все одинаковые. Необходимо только, чтобы моменты отдельных функций были сравнимы по величине. В этом более общем случае среднеквадратичное значение | а | дается не значением, использованным в выражении (8.7), а суммой
2 (I aJ 12)> но оно по-прежнему равно среднему числу квантов
i
в моде, что следует из (8.8).
Из самого вывода ясно, что гауссово распределение Р (а) для возбуждения моды обладает исключительно широкой областью применимости. Случайное или хаотическое возбуждение, которое оно описывает, характерно, по-видимому, для большинства известных типов некогерентных макроскопических световых источников, таких, как газовый разряд, источники накаливания и т. д.
Гауссов оператор плотности также принимает очень простой вид, если в качестве базиса пользоваться числами фотонов
е = S e_|aiv<n> I a><al d2(X- (8-9)
Действительно, подставим в равенство (8.9) разложения когерентных состояний (3.7) и (3.8) и воспользуемся тождеством
J e-ci“'2aI(a*)md2a = 6,mC-(m+1),
справедливым при С> 0. Если теперь записать С — (I +(п))/(п), то получим
е = гта2 {гтЬГ1т)(т|- (8Л0)
т
Другими словами, число квантов в моде распределяется соответственно степеням параметра (п)/( 1 + (п)). Распределение Планка для излучения черного тела дает пример оператора плотности, который, как давно известно, имеет вид (8.10). Тепловое возбужде-
ние, приводящее к распределению, соответствующему излучению черного тела, является идеальным примером хаотического источника, который был описан ранее. Поэтому не удивительно, что распределение, соответствующее излучению черного тела, относится к полученному нами классу распределений. В частности, следует отметить, что хотя распределение Планка характерно только для теплового равновесия, однако в операторе плотности общего вида (8.9) такие ограничения не содержатся. Этот оператор применим всегда, когда возбуждение имеет достаточно хаотический характер независимо от того, насколько излучатель далек от теплового равновесия.
Гауссова функция распределения ехр [— (а 12/(п)] зависит только от квантовомеханических переменных. При переходе к классическому полю | а |2 и среднее квантовое число (п) стремятся к бесконечности как ft-1, но так, что их отношение, которое является аргументом гауссовой функции, остается строго определенным. В классическом пределе вид распределения общеизвестен. Исторически одной из причин постановки задачи о хаотическом движении явилось рассмотрение поведения классического гармонического осциллятора, подверженного хаотическому возбуждению [14, 15]. Такие осцилляторы обладают комплексными амплитудами, которые при самых общих условиях описываются гауссовым распределением. Если бы мы не знали квантовомеханического анализа, то вполне могли бы предположить, что гауссово распределение, полученное таким способом из классической теории, может описывать распределение фотонов. Чтобы показать ошибочность такого заключения, необходимо более тщательно изучить природу параметра (л), который в конечном счете является единственным физическим параметром, содержащимся в распределении. В качестве простого примера можно рассмотреть тепловое возбуждение при температуре Т. Тогда среднее число фотонов равно (п) = [exp (ft со IkT)—1]\ (k — постоянная Больцмана), а распределение Р (а) в этом случае принимает вид
Р (а) = -1 [еШкТ — 1 ] ехр [ - (e%a/kT - 1) | а |2 ]. (8.11)
Для получения классического аналога этого распределения мы должны предположить, что энергия классического поля в моде
н = ~ J (Е2 + В2) dr
распределена с вероятностью, пропорциональной e~H^hT. Тогда для амплитуды а получается следующее раепределение:
Ркл(а)=(шОе-ма12АТ’ (8Л2)
которое, как видно, является первым членом разложения правильного распределения по степеням ft. (При этом следует помнить, что величина ft | а |2 должна рассматриваться как классический параметр.) Распределение Ркл (а) справедливо только в классической области изменения величины а, | а | > 1; следовательно, достаточно интенсивно возбуждаются только низкочастотные моды, у которых Ьаз/kT < 1; именно эти моды точно описываются классической теорией. Для более высоких частот эти два распределения, являясь гауссовыми, значительно различаются по своему характеру. Когда ft со становится больше kT, радиус классического распределения в a-плоскости остается слишком большим, в то время как радиус правильного распределения очень быстро уменьшается *). Это расхождение фактически устраняет ультрафиолетовую катастрофу классической теории излучения. Мы рассмотрели, конечно, элементарный пример, но он подчеркивает некоторые положения, отмеченные в предыдущем разделе, относительно ограниченной области применения классической функции распределения.
