Оптическая когерентность и статистика фотонов - Глаубер Р.
Скачать (прямая ссылка):
<« m Р) = S Тпп («!т!)-1/2 (а*)"Г (а [ 0> (0 |р>. (5.3)
п, m
Для упрощения записи удобно ввести функцию S (а*, Р), определяемую соотношением
S'(а*, Р)= 2 T„m(nM)~1/2(a*)npm. (5.4)
п, т
В квантовой механике часто встречаются неограниченные операторы; примером таких операторов могут служить операторы, определяемые соотношениями (2.16)—(2.18). Такие операторы, а также некоторые другие, которые нам, вероятно, встретятся, обладают тем свойством, что значения их матричных элементов Тпт мажорируются выражением типа Мп‘тк для некоторых фиксированных положительных значений М, j и k. В этом случае двойной ряд (5.4) сходится в конечных областях плоскостей а* и р и представляет собой целую функцию обеих переменных.
Для получения разложения оператора Т по когерентным состояниям можно использовать представление единичного оператора в виде (4.3), что дает
т = §1 a> <а I т !Р> <Р! d2a d2P, (5.5)
Т = ^\ I а) S' (a*i p)<p|<a|0><0|p>d2ad2p =
=йП |а> ^(а*’ ^ ®'6-1/2 lai2-1/210,2 d2a (5’6)
Пользуясь тем же методом, которым было получено соотношение (4.11) из (4.7), можно найти обращение этого разложения, или решение относительно S'(а*, Р):
S' (а*, Р) = <а | Т | р> е1/* laJ2+V2 Ш1». (5.7)
Отсюда видно, что разложение операторов, а также и произвольных квантовых состояний по когерентным состояниям является однозначным.
С помощью функций S' легко получить закон умножения операторов. Если Т = Т{Г 2, а S' \ и S'г — функции, соответствующие операторам 7\ и Т2, то можно записать (a|T|P> = (a]T1T2|p> =
<« [ Т’11 Y> <Y | Т’21 р) (5.8)
Поэтому функция S, которая представляет произведение операторов, дается выражением
S' (а*, р) = -L J (а*, у) sz (у*, Р) е-lvl» d*y. (5.9)
Функция разложения для оператора Т\ эрмитово-сопряженного с Т, получается из выражения (5.4) путем замены в нем Тпт на Ттп (т. е. она равна [S (Р*, а)]*). Если оператор Т является эрмитовым, то ' функция S' должна удовлетворять соотношению
У(а*,р) = [У'(р*>а)]*> (5.10)
так как разложения операторов Т и Т‘ однозначны.
Как следует из (5.7) и (3.32), функции S'(a *, Р), которые
представляют нормальные произведения операторов и' и а вида (&)па л, выражаются следующим образом:
S (a*, р) = (a*)" pme»*p- (5-11)
В частности, для единичного оператора п = m = 0.
Следует отметить, что большинство предыдущих формул можно несколько упростить, приняв для когерентных состояний нормировку, отличную от общепринятой. Если для состояний, нормированных новым способом, ввести обозначение jj а) д определить их как
j[a) = |a) eVala1,2, (5.12)
то скалярное произведение двух таких состояний запишется в виде (а [| Р). На основании выражения (3.32) это скалярное произведение равно
(а || Р) = еа*Р. (5.13)
Далее, следуя Баргманну [10], можно ввести элемент меры йц (а), определяемый соотношением
dfx(a) =-i-e-'a 2d2a, (5.14)
После таких изменений из предыдущих формул выпадают все гауссовы функции и число п. Например, выражения (5.6) и (5.7) записываются в такой сокращенной форме:
Т = ^ || a) S-(a*, р) <р || d^i (a) (р) (5.15)
и
S (а*, р) = (а || Т || Р). (5.16)
Наиболее важное свойство таких состояний || а) заключается
в том, что они даются разложением
и=2^р1п>
(5.17)
и поэтому подчиняются соотношению
a+i!a) = -^-|!a). (5.18)
Хотя о свойствах нормированных таким образом состяний || а) не следует забывать, однако в данной работе мы не будем пользоваться этой нормировкой для того, чтобы сохранить общепринятую интерпретацию скалярных произведений как амплитуд вероятности. Преимущества же, вытекающие из соотношения (5.18), не являются очень большими, так как все операторы, с которыми мы будем иметь дело, или уже имеют нормально упорядоченную форму, или легко к ней приводятся.
6. Общие свойства оператора плотности
Разработанный в двух предыдущих разделах формализм дает возможность выразить собственные значения оператора плотности через векторы когерентных состояний. С математической точки зрения использование векторов когерентных состояний приводит к значительному упрощению при вычислении статистических средних. Так как когерентные состояния являются собственными состояниями полевых операторов Е<±> (rt), то нормально упорядоченные произведения полевых операторов можно заменить при усреднении на произведения их собственных значений, т. е. рассматривать их не как операторы, а как числа. Корреляционные функции поля вида G<v, определяемые уравнением (2.1), есть средние именно от таких произведений операторов. Их можно довольно легко вычислить при использовании представлений, которые мы рассмотрим ниже.
