Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
*) В таком случае объемная сила, действующая на среду, работы не производит, так как эта работа равна произведению силы на скорость среды.
319 ниє S = wvгр нарушается при наличии поглощения и вообще каких-либо источников или «стоков» энергии в среде. В применении к потоку плотности импульса gavrр, р сказанное относится уже к случаю прозрачной покоящейся среды, так как соотношение оа$ = — gavrp, g может иметь место только в отсутствие объемной силы. Последнему требованию как раз и удовлетворяет тензор Минковского (заряды и токи считаем отсутствующими), для которого dTf?)/dxk = 0.
Все сказанное позволяет считать тензор Абрагама «правильным», но, как нам представляется, объявить тензор Минковского «неправильным» можно, лишь подходя к проблеме несколько формально. На самом же деле, в большинстве ситуаций результаты, получаемые на основе использования тензоров Абрагама и Минковского, совершенно тождественны. Это дает возможность в соответствующих случаях не только пользоваться тензором Минковского, но даже считать его применение вполне целесообразным, если тем самым достигаются какие-то упрощения. Поэтому тензор Минковского 7\м) вряд ли следует объявлять «ошибочным», скорее он представляет собой некое вспомогательное понятие, которое вполне может использоваться. Тем самым отнюдь не наносится какой-либо ущерб «престижу» более фундаментального и, если угодно, «истинного» тензора энергии — импульса электромагнитного поля в среде Т{ку
Анализ вопроса о законах сохранения энергии и импульса при излучении электромагнитных волн (фотонов) в среде подтверждает и иллюстрирует только что сделанное замечание. В самом деле, посмотрим, чему равны импульсы цуга волн в среде на основе использования тензоров Абрагама и Минковского, а затем обратимся в обоих случаях к законам сохранения.
Рассмотрим распространяющуюся в среде плоскую волну вида
E = У2 (Eo ехр [i (kr — со/)] + ES ехр [— і (kr — со/)]), j
H = V2 (Но ехр [і {кг -со/)] + Но ехр [-/(kr -со/)]). J (13Л4)
Если волна квазимонохроматическая, то Eo и H0 являются «медленными» (по сравнению с периодом 2л/со) функциями времени t. Однако для простоты мы не учитываем дисперсию, и поэтому будем считать амплитуды E0 и H0 постоянными, но цуг волн имеющим сечение с площадью 1 и длину L (учет дисперсии см., например, в § 3 монографии [76], а в случае лишь частотной дисперсии — ниже в настоящей главе). Подставляя (13.14) в уравнения поля (13.1), (13.2) с вещественным є = = const *) и jext = 0, находим
H0 = -^tkE0]. (13.15)
*) Если быть точным, то нужно добавить, что среда считается не только непоглощающей (вещественность є), но и прозрачной (условие є > 0).
319 Отсюда, как условие существования нетривиального решения, получаем дисперсионное уравнение
со со /•
— п = — Vі
г г *
(13.16)
Далее, для средних по времени (усредненных по высокой частоте) величин имеем (см. (13.10) и (13.13))
1
w ¦¦
гЕ2 + H2
1
8it
4л
Cll
8лГ
= ^-(E0ES) k
16JT
с
16л;
F' І
{eEoES + H0HS) = -g^- (E0ES),
S = -rr [ЕН] = {[EqHo] + [EoHS]} =
или
G<A> = gAL :
G(M) = gML =
wL k cti k wLn k
= tt2gA, Ж k
Ctl k '
Жп k
(13.17)
(13.18)
(13.19)
где G(A'М) и Ж = Ж(К) = Ж(Ж) = wL— соответственно импульс и энергия цуга волн*). Связь (13.19) точно совпадает со связью между энергией и импульсом «фотона в среде», получающейся при квантовании поля в среде (см. гл. 6 и 7). Действительно, энергия фотона в среде равна Ж = На, а импульс равен G = (Нап/с) (k/A), т. е. G = (Жп/с) (к/А). Как было показано в гл. 7, использование связи (13.19) позволяет из законов сохранения энергии и импульса найти условие черенковского излучения; то же относится к формуле Доплера. В обоих случаях при классическом расчете, когда величина Ж не конкретизируется (и, следовательно, не содержит квантовую постоянную Н), получаются, естественно, только классические формулы, не учитывающие отдачи — изменения движения излучающей частицы. Для нахождения более общих формул с учетом отдачи нужно использовать законы сохранения уже в применении к отдельным фотонам в среде. Конкретно, при излучении одного фотона нужно воспользоваться соотношениями (см. (7.1) и (7.2))
E0-El = Ha, Po-PI = -^Tl-T-. (13.20)
*) Для неподвижной диспергирующей среды, как ясно уже из общих соображений (см., в частности, выше), электромагнитный импульс цуга волн
Ж Ж d& dm
G1 = — vrp = —-^г, где vr
dk '
^rp -
что для изотропной плазмы с е = 1 Г/г к
--групповая скорость. Любопытно,
р/со2, когда Crp = сп, имеет место
равенство
G(M),
¦ = G<a>.
11 В. л. Гинзбург
321 где Eo,i и ро, і — энергии и импульсы частицы (излучателя) соответственно в начальном состоянии 0 и конечном состоянии 1. В силу сказанного ясно (и это, конечно, подтверждается вычислениями), что для «получения» квантов (фотонов в среде) с энергией Йсо и импульсом (Йош/с) (k/k) при стандартном квантовании нужно прибегнуть к тензору энергии — импульса в форме Минковского. Если же пользоваться тензором Абрагама, то как классически (см. (13.18)), так и при квантовании и учете лишь импульса G(A) для импульса «фотона» находим заведомо неверный результат. Фактически же, как и следовало ожидать, использование тензора Абрагама приводит к правильному результату, но нужно учесть также действие силы Абрагама на среду в процессе испускания излучения (то же относится к процессу поглощения). Сделать это действительно необходимо, поскольку при излучении цуга волн (или, например, при его вхождении в среду) сила fA (см. (13.6)) отлична от нуля. Нас здесь интересует не сама сила, а импульс силы, который при излучении цуга волн равен (см. (13.17))
