Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
319 можно представить в виде рядов типа
cziE2 (Z)+ cz2E (Z)+ cz3iE (Z) ^r + a32 ("fr)* + ¦••
В случае среды с є' = const ист = const в правую часть (13.50) будут в силу (13.48) входить лишь слагаемые, содержащие E2(Z) или oE2(Z)/c3Z. Поэтому из (13.50) видим, что выражения для энергии и тепла в среде с постоянными (не зависящими от частоты) величинами є' и ст при произвольной зависимости поля от времени, вообще говоря, имеют вид
WE (t) = a-?^- + .... (13.51)
Q(Z) = CtE2(Z) + b-L- ЩР- + .... (13.52)
причем
0 + 0 = 8', (13.53)
но по отдельности а и Ь через диэлектрическую проницаемость, вообще говоря, не выражаются, а коэффициенты при невыпи-санных членах так согласованы, что в выражении (dwE/dt)-\- Q все такие члены, содержащие производные выше первой степени от поля по времени, сокращаются. Если электрическое поле изменяется со временем достаточно медленно, так что \Ь\/Т о, где T — характерное время для изменения поля, то выражение для выделяющегося тепла, как видно из (13.52), принимает вид
Q(Z) = CtE2(Z). (13.54)
Что же касается выражения для энергии поля в «поглощающей среде без дисперсии», т. е. при є'(со) =COnst и CT(со) = const, то лишь при условии |а|^>|Ь| оно принимает вид wE(t) = = е'E2 (t)/8п = We(I). Однако выполнение условия совсем не обязательно и вполне может быть, что |а|<с|&|; в этом мы еще убедимся ниже на конкретном примере (см. (13.70), (13.71)). Разумеется, возможность появления в (13.51), (13.52) чЛенов, содержащих производные поля по времени, обусловлена тем, что рассматриваемая среда обладает частотной дисперсией комплексной проницаемости (є(со) = є' + /(4яст/со), є' = const, ст = const).
Поскольку выразить We и Q через є в общем случае нельзя, для нахождения этих величин нужно обратиться к рассмотрению тех или иных конкретных сред или моделей среды. То же естественно сделать и для прояснения ситуации в целом. Как известно, весьма общей моделью среды является модель, сводящаяся к совокупности осцилляторов с массами ти, собственными частотами со& (речь идет о частотах при отсутствии поглощения) и эффективными числами соударений Va — коэф-
319 фициент при силе трения). Уравнение движения для такого осциллятора типа k имеет вид
ft +Vftf*+ ш|гА =:_*.?, (13.55)
mk
где ей — заряд (ekrk — дипольный момент осциллятора) и E — действующее на осциллятор поле. Ниже, чтобы не усложнять модель без особой на то нужды, поле E будет отождествляться со средним макроскопическим полем. Такое предположение является, вообще говоря, частным или приближенным. Но, например, для плазмы (в этом случае (0? = 0) оно практически полностью оправдано. Применение уравнения (13.55) с сой = О к плазме имеет весьма широкую область применимости, как это ясно из более общего анализа на основе кинетического уравнения (см. гл. 12). Что же касается применения классической модели осцилляторов к атомарным или молекулярным газам и некоторым другим средам, то оно находит обоснование на базе квантовой теории.
В поле E = E0e-iat вынужденное решение уравнения (13.55) имеет вид
Е„е
- iat
= 2 V,-• (13.56)
тк <flg-«Bft+«BVA
Поскольку поляризация среды P = ? ekNkrk и по определению
k
для рассматриваемого поля D=E + 4яР = є (to) Е, то *) v-( Ql о Ane2bNb
8u))= 1-У—-T-- Qft =-— • (13.57)
V ® - + iavk mk
где Nii — концентрация осцилляторов сорта k. Для плазмы, когда Wk = О,
,2 >
Є (to) = 1--o г--;-, є' (ей) = 1---
4 ' CO2 + iCOV W CO2 + V
„, ч 4па (со) vQ2 Ane2N
Є (со) =-— = -7-j-j—5Г . й2 =-
4 ' со со (<?>2 + \r) т
(13.58)
где, для простоты, плазма считается однокомпонентной и индекс k опущен (мы не касаемся вопроса о фоне, скажем, из положительных ионов, обеспечивающих квазинейтральность среды).
Закон сохранения энергии для осциллятора сорта k имеет вид
d ( тЛ , mkalTl ^ -21 /,ОКПЧ
и\+ —J =-m^krI+ ekrkE- (13.59)
*) Напомним, что при выборе временной зависимости в виде е-'«' по используемому определению D0e - = є (со) E0e~iat.
319 Отсюда ясно, что для рассматриваемой модели среды
К = Z '/,W, ^=? l^kmykr\
k k
Q=Z VWk.
k
(13.60)
где К — связанная с полем кинетическая энергия, U — потенциальная энергия и Q — выделяющееся в единицу времени в единице объема тепло (точнее, Q есть работа сил трения, которую мы считаем переходящей в тепло).
Плотность энергии поля и вызванного полем движения зарядов (осцилляторов) в среде равна wE = (E2/8л) + К + U. Поскольку речь идет о квадратичных величинах, удобно теперь рассмотреть вещественное поле E = E0 Re е~ш = E0 cos со/, E0 = =E0 = ConstH найти wE и Q, а затем средние по периоду значения We и Q. (Это означает практически, что отбрасываются все члены, содержащие множители е±2Ш.) Результат элементарного расчета таков:
п. I^j- (13.61)
Qs = L
QjtOfl2+ <4) IieQI
»2—®*)2 + ®М J 16я
ФУ I Е0 I' „/JE0
V-CO2
)2 + co2v| 8л 8зт
соє" (со) -I-^i (13.62)
k
поскольку, согласно (13.57),
Y wv^k k
(OVhQ2h
(13.63)
є"(со) ~т 0°2-fflD2+fflM '
В то же время
