Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
На теореме Пойнтинга и законе сохранения энергии в макроскопической электродинамике (в применении к простой модели среды) мы уже останавливались в гл. 11. При учете в широких пределах произвольной частотной и пространственной дисперсии закон сохранения энергии для прозрачной среды рассмотрен в [76] и вообще довольно часто обсуждается в литературе. Этого нельзя сказать о плотности энергии и выделяющемся тепле в диспергирующей поглощающей среде и о законе сохранения импульса в макроскопической электродинамике. Ниже мы остановимся на этих вопросах, причем начнем с закона сохранения импульса, тензора энергии—импульса и сил, действующих на среду в электромагнитном поле.
С импульсом электромагнитного поля приходится сталкиваться значительно реже, чем с энергией. Кроме того, вопрос об импульсе поля в среде оказался в известной мере запутанным— он связан с выбором выражения для тензора энергии—¦ импульса электромагнитного поля в среде. Эта проблема дискутируется уже около 70 лет и вплоть до последнего времени (см. [78, 173—177] и указанную там литратуру; статья [176]' непосредственно использована ниже). Поэтому как раз и представляется уместным остановиться на обсуждении закона сохранения импульса в макроскопической электродинамике.
Чтобы избежать усложнений, не имеющих прямого отношения к тем вопросам, которые мы сейчас хотим выяснить, будем рассматривать покоящуюся немагнитную, непоглощающую среду без дисперсии. Тогда уравнения поля имеют хорошо известный читателям вид, но удобнее их здесь еще раз выписать
Slfi (В = Н, є не зависит от со и к) :
rot H = jext + 7 -^7". (13.1)
rot (13.2)
divsE = 4npext (13.3a)
div H = O. (13.36)
Умножим уравнение (13.1) скалярно на Е, а уравнение (13.2) —на Н. Вычитая получающиеся выражения одно из другого и используя тождество ErotH — H rot E =—div [ЕН], имеем
^-|r(e?2+tf2) = -jextE-divS, (13.4)
т. е. приходим к теореме Пойнтинга, которую в данном случае без особых осложнений можно интерпретировать как закон сохранения энергии (плотность энергии W = (еЕ2 -f- H2) /8п, плотность потока энергии S = (с/Ал) [ЕН]).
При этом учитывается, что среда считается непоглощающей, в силу чего проницаемость є — вещественная величина, а заряды и ток с плотностями pext и jext создаются внешними источниками. О теореме Пойнтинга и ее следствиях для диспергирующей и поглощающей среды речь пойдет во второй части настоящей главы.
Умножив теперь уравнение (13.1) векторно на Н, уравнение (13.2) также векторно на еЕ и сложив получающиеся выражения, находим
{[Н rot Н] + є [Е rot Е]} = - 7 [jextH] - |г [ЕН].
Прибавим далее к правой и левой частям этого соотношения выражение —PextE, причем в левой части преобразуем его с
помощью (13.3а) к виду— E div (еЕ). В результате получим {[Н rot Н] + є [Е rot Е] - E div єЕ} + А [ЕН] =
= - { PextE + 1 [jextH] + -?=! А [ЕН] } . (13.5) В правой части здесь фигурирует плотность лорентцевой силы
F = pextE + у [jextH]
и плотность объемной силы
^=jSr ж1ЕН1- (13-6)
которую иногда называют силой Абрагама. Знак минус в правой части (13.5) связан с тем, что сумма Г71 -j- fA представляет
319 собой силу, действующую на среду, уравнение же (13.5) определяет баланс сил и импульса в применении к полю, причем
g
Л _
4 лс
[EH] = -д-
(13.7)
есть плотность импульса поля (именно такое выражение, одинаковое и для вакуума и для покоящейся среды, отвечает выбору тензора энергии — импульса в форме Абрагама; см. ниже).
Будем сначала для простоты считать среду однородной (при этом є = const; случай неоднородной среды и возможная зависимость е от плотности среды рассмотрены ниже). Тогда уравнение (13.5) особенно легко преобразовать к стандартному виду (при переходе от (13.5) к (13.8) удобно воспользоваться тожде-стзом [a rot а] ='/г^а2 — (aV)a)
до.
a?
дхя
-Ж = fa, fa = f2 + ft a, P=l,2, 3, (13.8)
где aa|3 — максвелловскии тензор напряжении:
(Tae = -L {еЕаЕв + HaH? - V2 (є?2 + H2) 6a?}.
(13.9)
Итак, закон сохранения импульса (13.8) следует из уравнений поля без дополнительных предположений. Объединяя этот закон и закон сохранения энергии (13.4) в одно четырехмерное соотношение — закон сохранения энергии — импульса, приходим вместе с тем к выражению для тензора энергии — импульса Tik:
еЕ2 + H2
/W Cgn \
U» -J' ш=
8л
SHs-IE"]'
c2g\
J
дхк
= /', = Z0 = -OextE), f = f* + f\
С
(13.10)
I (13.11)
і, ? = 0,1,2, 3; a, ? = 1, 2, 3; Xi = {et, r}. I
Тензор (13.10) представляет собой тензор энергии—импульса, предложенный Абрагамом для однородной покоящейся среды; для движущейся среды этот тензор выглядит несколько сложнее (см. ниже).
Тензор энергии — импульса, использованный Минковским в тех же предположениях, что и в случае (13.10), (13.11), имеет вид
W CE
,M
дТ,
ik (M)
дх*
Tik _
1 (M)—
_/л. I1 р, о.
1
гм.
Г 3 tfa?
Z0 = -(JexfE), с
4я с
[EH] = Eg^
(13.12)
F = PextE+ -[JextH]. (13.13)
с
319 Совершенно очевидно, что по крайней мере с формальной точки зрения законы сохранения (13.11) и (13.13) тождественны— они отличаются лишь разным разбиением одной и той же суммы на слагаемые. Конкретно, если силу Абрагама (13.6) перенести из правой в левую часть равенства (13.11) и объединить с (JTt(A)Idxil, то как раз получится выражение дТ\щ/дХк и тензором энергии — импульса можно будет считать тензор Минковского. Подобная неоднозначность в выборе выражения для тензора энергии — импульса тем менее удивительна, чго она носит весьма общий характер и имеет место уже в случае теории поля в вакууме (см., например, § 32 в [2]). К тому же поле в среде является незамкнутой системой — «замкнута» лишь система, состоящая из поля и среды, причем последняя характеризуется своим тензором энергии — импульса Т[*у Для суммарного тензораTlk = + 7?. где 7?-тензор энергии-импульса поля (например, тензор (13.10)), справедлив закон сохранения dTik/dxk = 0, но ни тензор Tik, ни тем более его части Т(с) и 7Уэм) в общем виде однозначно не определяются. Совсем другое дело — плотность силы, которая является, по крайней мере в принципе, однозначной и измеримой величиной. В этой связи и судьба «спора» о тензорах Абрагама и Минковского в конечном счете решается в результате выбора выражения для силы. Сила Абрагама (13.6) генетически связана с силой магнитного поля (силой Лорентца), действующего на ток смещения. В реальности этой силы невозможно сомневаться, хотя измерена она была лишь недавно (см. [177], где указана оригинальная литература). Тем самым вопрос однозначно решается «в пользу» тензора Абрагама. Встречающиеся в литературе возражения против выбора этого тензора не обоснованы (см. [174—177]). Ограничимся здесь упоминанием одного такого возражения и соответственно аргумента в пользу применения тензора Минковского. Именно, при выборе тензора Минковского для квазимонохроматического цуга волн в любой системе отсчета поток энергии поля в прозрачной среде S = шугр, где w — плотность энергии и Vrp — групповая скорость. Аналогично именно для тензора Минковского ffa? = — ? (см. с. 107 в [76] и указанную там литературу). При выборе же тензора Абрагама подобные соотношения не имеют места, что почему-то считается минусом или трудностью. На самом деле, все опять-таки связано с наличием при использовании тензора Абрагама объемной силы fA. В движущейся среде такая сила производит работу над средой, и поэтому соотношение S = шугр не может и не должно соблюдаться. Ситуация здесь вполне аналогична имеющей место уже для покоящейся среды*), когда соотноше-
