Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
rotH =-^jext+ -i-f, (13.23)
rot Е = (13"24')
div D = 4ярехь (13.25)
div B = O. (13.26)
Если в системе отсчета, в которой среда покоится, D = еЕ, В == = |ыН (дисперсией, как и ранее, пренебрегаем), то для медленно движущейся среды (см. § 111 в [85])
D=eE + (e--i-)[iB],
ч-т-О-Ш»]- (13'27>
где скорость среды и относительно лабораторной системы отсчета считается малой, т. е. пренебрегается членами порядка U2Ic1. Однако и при использовании более общих связей между D, В, H и E исходные уравнения (13.23) — (13.26) также остаются справедливыми.
Умножая уравнения (13.23) и (13.24) скалярно соответственно на E и H и действуя далее как обычно (см. (13.4)), получаем соотношение
-k (Ж E + f-H) = -jextE-divS, S = ^fEH]. (13.28)
Умножая (13.23) и (13.24) векторно соответственно на В и D и опять поступая так же, как выше при получении уравнения
319 (13.5), имеем
— {[D rot E] + [В rot H] - E div D} = — F1 — |-[DB], (13.29)
F = PextE + у [JelttB].
Соотношения (13.28) и (13.29) обобщают (13.4), (13.5) и представляют собой законы сохранения энергии и импульса, вытекающие из уравнений поля (13.23) — (13.26). Точнее, речь идет о законах сохранения, связанных с законами сохранения энергии и импульса. Выявление же этой связи требует дополнительного анализа и дополнительных предположений. По сути дела, последнее уже было пояснено выше — при наличии в законе сохранения ряда членов нельзя без дальнейших допущений однозначно интерпретировать те или иные из них. Вместе с тем при конкретизации задачи использование законов сохранения позволяет, разумеется, получить ценные результаты. В качестве примера найдем на базе соотношения (13.28) выражение для плотности силы fm, действующей на рассматриваемую среду. Для этой цели вычислим производную
03.30)
где wM = (DE + ВН)/8л можно пока рассматривать лишь как обозначение.
При вычислении производных dE/dt и dti/dt воспользуемся связями (13.27). При этом нужно также как-то конкретизировать значения дг/ot и дц/ot. Будем считать, что є для каждого элемента среды может изменяться лишь в силу изменения плотности р. Тогда
de де , „ де dp де ,. ,.„ 01Ч
_^„ + uVe = __^__pdlvU( (13.31)
где использовано также уравнение непрерывности
+ div pu = 0.
В силу (13.27), (13.31) и аналогичного выражения для dp/dt
легко находим
-S-f4M' - Ir-4Н-» {« ф-гг ($ р) ¦-} ¦ 1
(13.32)
Здесь, как и везде, скорость и считается постоянной или, точнее, пренебрегается всеми производными от и по времени и координатам, но учитывается дивергенция div и, возникающая при использовании уравнения непрерывности. В силу (13.22), и снова
319 принимая во внимание связи (13.27) при пренебрежении членами порядка и2/с\ получаем
dwM 1 / <?D _ . <?в „\ , 1 / „ ч и, і
+ "8лГ (?р) ?2 div u + І Н2 + Ж ("t Р) ^divu" (13-33)
Комбинируя (13.33) с (13.28), окончательно находим
-^J,.,E+f„u+div{S-i[(|lp)?4(|p) Я"]}. (13.34)
'"=-i;ve-f>+iv{(|b)?>}+iv{(!p)/4 (13.35)
Это соотношение уже естественно непосредственно интерпретировать как закон сохранения энергии, причем шм есть плотность энергии поля и im — сила, действующая на среду (она производит работу fmu); добавление к потоку энергии члена, пропорционального и, не может вызвать удивления, но вопрос о точности соответствующего выражения нуждается в дополнительном анализе. Нас этот вопрос не будет интересовать, поскольку целью вывода было получение выражения для силы im, действующей на покоющуюся среду, когда u = 0. Но положить сразу и = 0 нельзя, поскольку в этом случае работа силы fmii также равна нулю. Выражение (13.35) совпадает, конечно, с получающимся обычно (см. [44, 85]), но в результате рассмотрения смещения элементов среды в поле. Подобный вывод в общем эквивалентен приведенному, но непосредственно относится лишь к статическому случаю.
Не следует думать, как могло бы показаться на первый взгляд, что приведенный вывод однозначно определяет плотность силы, действующей на среду. В самом деле, выберем для движущейся среды в качестве плотности энергии и плотности импульса следующие выражения:
^ = + ВН> - 4л (1 -W) ([DB] - [ЕН])' (13"36)
Sa = ^ = -L { - 1 -т (« [DB] - U [ЕН])}• (13.37)
Именно такие выражения получаются (см. [3, 175]) для движущейся среды в результате релятивистских преобразований, если в неподвижной среде принять для тензора энергии — импульса выражение Абрагама (13.10). Очевидно, что
dwM , . dwA , . . -д ,,о
-Qi- + fmu = -^r + fmu + fAu, (13.38)
t^|(gM_g,)s,_l_| |[DBI—[EHI4- ¦ і . (13.39)
319 Таким образом, если говорить только о соблюдении закона сохранения (13.28), то с равным правом можно считать плотность объемной силы равной fm или fm + fA. То же справедливо и в отношении выбора выражения для плотности импульса на основании закона сохранения (13.29): как выражение Минковского
(тМ=="4зте [DB], так и выражение Абрагама (13.37) совместимы
с (13.29). Вся разница состоит лишь в том, что в варианте Абрагама на среду, помимо других сил, действует и сила с плотностью fA, отсутствующая в варианте Минковского, так сказать, за счет соответствующего изменения плотности импульса поля в среде. Вопрос о реальности силы fA, которая для изотропной и немагнитной среды при (и2/с2)<С 1 имеет вид (13.6), должен решаться на основе опыта или в результате анализа сил, действующих на среду в электромагнитном поле (имеем в виду уравнения движения для среды). Как мы уже упоминали, с обеих этих точек зрения в наличии силы fA не приходится сомневаться. Остается заметить, что и в 0|бщем случае сохраняется связь
