Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
EQ2b (а2 — со!)
и поэтому We через є'(со) не выражается (см. также ниже). В частном случае уже упомянутой модели плазмы (13.58)
wE--
(1 +1^)^ = (2-^))-
16я
- „02 I F |2 I F |2 (13.65)
Qfi = —ІГПГ—2" 1I^ = (со) -Ц^-,
со2 + V2 8jc 4 ' 8я
т. е. не только Qe, но и We выражается через є (со) или, конкретно, через г' (со) = Re є (со). Этот случай, однако, явно является частным. К тому же сами значения шеЩ и Q(Z), а не
319 соответствующие средние даже для плазмы непосредственно через є (со) не выражаются — они имеют вид
Г Г ?2(co2-v)24
MO = Ці —(со2+ V2)2 Jcqs2^ +
VCoQ2 CO2Q2 I E2
+ (со2 + V2)2 Sin 2йз/ + (со2+ V2)2 J &Г ' <13-66) , > Г 1 CO2-V2 VCO "I En
Q (0 = VQ2 Ll^r - (со2 -j- V2)2 C0S 2(o/ + 2 (со2 + V2)2 Sin 2Ы\ ¦
(13.67)
Для системы осцилляторов определенная согласно (13.46) величина равна
d (соє' (со)) I E0 I2
WF = —
dco 16я
Q2 (со2+ со2) [(со2-со2)2-CO2V2]-
[(со2-со2)2+ CO2V2]2 J 16,
(13.68)
а для плазмы имеем
d(сое'(со)) |Е0|2 ft , Q2 (со2 - у2) 1 I E012
wE — dco 16я
Очевидно, в обоих случаях при наличии поглощения We Ф We (см. (13.61), (13.65), (13.68) и (13.69)) и только при отсутствии поглощения (т. е. при vfe = O) WE = We, т. е. средняя плотность энергии We правильно определяется формулой (13.46), переходящей в этом случае в (13.45). Иначе и не могло быть, поскольку при отсутствии поглощения
1 OD dw„ __E —_E
4я dt ^ dt
и не приходится как-то разделять величину (1 /4л) (dD/dt) E на части dwE/dt и Q (см. (13.40)).
Приведенные примеры (носящие, кстати сказать, весьма общий характер) не оставляют сомнений в том, что величина
We--
d<?> 16я
(см. (13.46)) не является, вообще говоря, плотностью энергии электрического поля в среде. Из (13.68), (13.69) ясно также, что We может быть отрицательной (например, в (13.69) wE < О, если Q2v2 > Q2co2 + (со2 + v2)2; в предельном случае v2 со2 это сводится к условию Q2 >v2). Величина же wE, как ясно из (13.61) или (13.65), всегда положительна, как это и должно быть
для величины we = (Е2/8л) +
319 Для области частот co2Cv2, согласно (13.58), є'=1 — (Q2/v2), <j = Q2/4nv, а, значит, в данном случае плазма представляет собой пример уже обсуждавшейся выше поглощающей среды без дисперсии*). Из (13.66), (13.67) при этом в полном соответствии с (13.51) — (13.53) имеем (напомним, что в (13.66), (13.67) E(Z) = E0 cos coZ)
^(/)=(1+??^. (13:7°) Q(Z) = -^rE2(Z)-(13.71)
так что а = 1 + ?2/v2, b = — 2Q2/v2, a + b = 1 — Q2/v2 = є'. Соотношение между а и \Ь \ определяется, как видно из формул, параметром fi2/v2 и при fi2/v2 > 1 имеем \Ь\~> а.
Хотя величины хі>е(і) и Q(Z) в общем виде, вообще говоря, не выражаются через є (со), для суммы
dwp(t) 1 3D
QO=-TT-^rE
dt 1 ^ 4л
это, конечно, возможно. Отсюда ясно, что вклад в члены с є'(со) и с е"(со), входящие в выражение (1 /4л) (dD/dt) Е, вносит как член dwE(t)ldt, так и член Q(Z). Тем не менее довольно поучительно убедиться в сказанном на конкретном примере. Разумеется, для этого годится и среда, состоящая из осцилляторов, но мы ограничимся рассматривавшейся выше моделью плазмы.
Заметим, что в этом случае особенно легко также проверить справедливость самого соотношения
dw„ 1 OD
-зг + Q = -ж Е' <13-5°)
выписанного ранее, можно сказать, из общих соображений. В самом деле, для обсуждаемой модели и плазмы
eNr = ^L =-Lmj=IL
е 1 dt 4л dt
где P — полная поляризация среды (если отдельно вводятся ток проводимости j и поляризация Р, то используется запись eNr = j -f dP/dt). С другой стороны, согласно уравнению движения, mr -+- тут = еЕ и, значит,
_д_ dt
[Nm^) + Nmvг2 = JVerE -^E-IfE.
*) Заметим, что при а > О и е' < О такая среда в отсутствие внешних источников неустойчива [182], в силу чего случай плазмы с со2 -С V2 и Q2 > > V2 нужно рассматривать с известной осторожностью (нужно опираться на общие выражения (13.58), свидетельствующие об устойчивости соответствующей модели плазмы). В этой связи отметим, что мы, по существу, нигде и
" V2.
QQfi Отсюда
dwE 1 OD ?2 Nmr1
T + Q = l^-oTE' = ^ ~ 2 ' Q = m JVvr2,
как это її должно быть.
Для монохроматического поля E = E0 cos со/ значения wE и Q уже были выписаны (см. (13.66), (13.67)) и, таким образом,
dw„
Е 1 Q =
dt
( сой2 (со2 — V2) CO2Q2V \ E2
= j - со sin 2со/ н--(t02 + v2)2 Sin 2со/ + 2 (й)2 + v2)2 cos 2со/j +
Г v?22 vfi2 (со2 - V2) Q2V2CO 1 E2
+ - + vT ^os 2"t + 2 (со2 + V2)2 sin2co/J 8^ =
1 OD E2
= ~df E = [— сое' (со) sin 2со/ + соє" (со) + соє" (со) cos 2co/] =
( coQ2 vQ2 VQ2 \ E2
=^ - CO sin 2(0/ + sin 2co/ + + ^^ cos 2co
(13.72)
где последнее выражение получено путем подстановки выражений (13.58) для є'(со) и є"(со); что же касается предпоследнего выражения в (13.72), то оно сразу же получается при учете связи поля E = E0 (еш -j- е~ш) /2 с индукцией D = (Е0/2)(є(—а)еш+ + є (со) е~ш), так как при учете соотношения (13.42) получаем тогда
D = є' (со) E0 cos со/ + є" (со) E0 sin со/.
