Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
о рассеянии на флуктуациях тензора диэлектрической проницаемости
єі/(со, к). Тем самым освещение в настоящей и следующей главах некоторых вопросов, связанных с флуктуа-циями и рассеянием волн, представляется в плане этой книги вполне естественным. Необходимо, однако, подчеркнуть, что внимание сконцентрировано не на общих вопросах теории электромагнитных флуктуаций (см. [165, 184, 185]), а только на нескольких более частных, но в физическом отношении весьма интересных задачах.
Первая такая задача — флуктуации в линейном электрическом контуре, т. е. электрической цепи с сосредоточенными емкостью С, самоиндукцией L и сопротивлением R (рис. 14.1). Размеры контура I считаются очень малыми по сравнению
¦си-
R
Рис. 14.1. Электрический LCR-коитур.
319 с длиной волны Я = 2яс/со, отвечающей рассматриваемой области частот со. В таких условиях при рассмотрении полей и токов в контуре справедливо квазистационарное приближение (см., например, [44, 85]), в рамках которого сила тока во всех
+ OO
частях контура одинакова и равна J (t) = ^ Ja ехр (— /со/) da.
— OO
Если величины С, L и R не зависят от частоты, то ток J определяется уравнением
[jdt
Lij+ Rq+±== LJ+ RJ+ = & {t), (14.1)
где q = jj J dt — заряд на конденсаторе и & (/) —приложенная
к контуру (или, лучше сказать, включенная в контур) электродвижущая сила (э. д. с.)*). Если хотя бы одна из величин L, С и R зависит от частоты (прямой аналог частотной дисперсии в среде), уравнение (14.1) справедливо лишь для фурье-компо-нент:
- /соL (со) + Riсо) - (т^-) Ja = Sa,
+ OO
/га = ^ S / (0 ехр (/со/) dt,
— OO + OO
^co = \ & [t) ехр (ш/) dt.
(14.2)
Если ввести импеданс (комплексное сопротивление) Z (a) = R / (cuL ~cSU~) '
то, согласно (14.2),
& a = Z (со) Ja.
контура
(14.3)
(14.4)
В отсутствие внешней э. д. с. статистическое среднее значение тока J в контуре, разумеется, равно нулю. Вместе с тем очевидно, что в контуре под влиянием или, если угодно, в результате теплового движения все время возникают и исчезают (затухают) флуктуационные токи. Эти токи можно, как обычно в таких случаях, охарактеризовать корреляционной функцией
ф(/'-/) = ф(т) = /(/)/(/ + т),
(14.5)
*) При использовании абсолютных единиц (система СГС), как мы везде поступаем, в (14.1) фигурирует не самоиндукция L, a Llc2. Поскольку конкретные значения L ниже использоваться не будут, удобнее просто обозначить самоиндукцию, деленную на с2, через L.
319 причем задача считается однородной во времени (отсюда зависимость только от т = Ґ — t\ задача была бы неоднородна во времени, если бы параметры контура зависели от времени) и черта означает статистическое, а если нужно, то и квантовоме-ханическое усреднение (подробнее см. [184, 186]; для простоты выписываем формулы типа (14.5) лишь в применении к классической задаче). Для случайных (флуктуационных) токов J, не стремящихся к нулю при I^l-»-оо, фурье-компонентами нужно пользоваться с осторожностью, но для применяемых ниже конечных квадратичных величин подобные предосторожности оказываются излишними [186, 187]. Поэтому, подставляя в (14.5) выражение *)
/ (/) = ^ ехр (— Ш) flfco,
получаем
+ оо
ф (т) = ^ JaJa- ехр [— і (со t + СО ft')] flfco flfco'.
— OO
Но правая часть этой формулы зависит только от т лишь при наличии соответствующей 6-функции, и, следовательно, мы можем написать
+ OO
ф(т)= 5 (/2)со ехр (—/сот) flfco, — 00
-J-OO
^=W S Ф (т) exP (/сот) flf^
— OO
где величина (Z2)ra определена следующим образом:
(14.6)
JJa' = (^2)ra б (со + со'). Для среднего квадрата силы тока имеем
+ OO
J2 = ф (O) = 5 (J2)a flfco = 2 ^ (J2)a da. (14.7)
*) При сравнении ряда формул с приведенными в [186] нужно иметь в виду, что в [186] используется нормировка, отличающаяся от нашей на 2л; например, согласно [186] было бы
+ OO
J (t) = -L ^ Ja ехр (— Ш) da, ф (т) = -L ^ (Ja)2 ехр (— im) da,
+ OO
(Z2)to= ^ ф (т) ехр (im) d-c; см. (14.6).
319 Измеряя силу флуктуационного тока /(/) в контуре, можно найти ф(т) и, следовательно, (Z2)to — спектральную плотность среднеквадратичной флуктуации. Для контура, находящегося в термодинамическом равновесии (при температуре Г), величина (Z2)ra определяется из теории — получение соответствующего выражения и является сейчас нашей целью. При этом вместо (Z2)m можно с таким же успехом искать спектральную плотность среднеквадратичной «случайной» э. д. с.
(If2L = IZ(CD)I2(Z2)co. (14.8)
Действительно, в электродинамическом отношении флуктуа-ционные токи в контуре ничем не отличаются от токов, текущих под влиянием «внешней» э. д. с. Используя поэтому связь (14.4), причем согласно (14.3), Z(—со) = Z* (со), приходим к (14.8).
Значение (<F2)ffl в термодинамическом равновесии получается сразу же при использовании общей так называемой флуктуа-ционно-диссипационной теоремы, связывающей флуктуации (например, величины Z2 и (Z2)ra) с диссипативными свойствами системы (в случае контура — с его сопротивлением R). В этом отношении нам нечего прибавить к выводам, приводимым в книгах [184—187]. Вместе с тем достаточно элементарное рассмотрение, предпринятое ниже, не только сразу же приводит к цели, но и проясняет по существу все физическое содержание флуктуационно-диссипационной теоремы. Более того, отправляясь от контура, мы по сути дела получаем значительно более общие результаты.
