Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В классическом пределе /ш <С хТ функция /(со, T) = кТ/л и, как ясно из (14.11), (14.12) и (14.14), при любых значениях параметров L, С и R можно написать
U=K = 1IskT. (14.19)
Разумеется, такого результата и следовало ожидать, ибо он в данном случае эквивалентен статистической теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы. Правда, выше предполагалось, что L, С и R не зависят от со, но в противном случае вообще трудно говорить о контуре с одной степенью свободы и, во всяком случае, классический закон равнораспределения и не должен выполняться.
Существенно, что в квантовом случае, даже при постоянных L, С и R равнораспределение, вообще говоря, не имеет места. Конечно, при R-*- 0 справедливы формулы (14.13) и в частности O = K- Вообще же в качестве первого приближения формулы (14.13) справедливы при условии
R/L < l/yZC, (14.20)
обеспечивающем слабость затухания*). Если же неравенство (14.20) не соблюдается, то П ф К, причем общие выражения для О и К в этом случае получаются из (14.11), (14.12) и (14.15). Мы видим, что U и К зависят от двух параметров — от а = CR/л/LC и ? = 1і/л/ІСхТ.
Условие (14.20) эквивалентно неравенству а <§С 1, и тогда ? = h(i)i/%T, где COj= і/л/LC — частота контура. Пусть для примера (подробнее см. [188 6]) контур сильно затухает, т. е.
— > (14.22)
L <s/LC
*) Собственная частота LCR-контура определяется из уравнения (14.1) с S (/) = 0 и равна _
^-'іЧіс-іМ-
319 или, что то же самое, а> 1. Тогда
к==т(-щг)хТ
К = 1I2KT
U = Ч&Т
при <С v.T. т. е. при ? < а,
приV.T,
при -<С у.Т, т. е. при ?«|,
при —— > хТ.
(14.23)
Таким образом, условие классичности для электрической энергии U совершенно отлично от условия классичности для магнитной энергии Я и т. д. Любопытно также, что контур, далекий от условия классичности при малом R (выполняется условие Hcai = й/д/ LC >- хТ), при достаточном возрастании R и неизменных LnC становится классичным по отношению к О (т. е. ?7-»-'ДиТ"), тогда как R^ 0. Здесь нужно лишь напомнить, что требование квазистационарности контура, из которого мы исходили, накладывает известные ограничения на величины L, С и R (в частности, нельзя просто стремить R-*- оо, ибо в этом случае контур окажется разомкнутым и формально (S2)a-*- оо, хотя (72)ш->-0). Нам неизвестно, однако, что,бы подобные ограничения как-то сказывались при анализе соответствующих конкретных задач или существенным образом мешали переходу к предельным случаям %/RC<^xT или HR/L > хТ (см. (J4.23)).
Причина отмеченной ситуации — разного поведения DuR-вполне ясна. Классическая система даже при большом затухании может сохранять свои характерные черты — «оставаться сама собой». Например, колебания маятника (осциллятора) с ростом вязкости окружающей его среды затухают все сильнее, но сам он остается тем же маятником. Если же мы имеем квантовый гармонический осциллятор с частотой со*, то в отсутствие затухания эта система имеет энергетические уровни, отстоящие друг от друга на расстоянии Нац. С ростом затухания (в результате, скажем, соударений или взаимодействия с излучением) уровни расширяются и все больше перекрываются. Совершенно очевидно далее, что при сильном перекрытии уровней система обладает явно выраженным непрерывным спектром и имеет мало общего с квантовым гармоническим осциллятором. Но у разных квантовых систем в зависимости от характера их энергетического спектра средняя полная энергия и средние потенциальная или кинетическая энергии уже, вообще говоря, совершенно различны.
Гармонический осциллятор играет в физике исключительно большую роль отнюдь не только потому, что подобная система, как таковая, часто встречается (маятник, колебания молекул и т. п.). Еще более важно, что к задаче об осцилляторе в известной мере сводится чрезвычайно широкий круг вопросов, свя-
319 занных с рассмотрением малых (линейных) возмущений и волн в средах с «распределенными постоянными», т. е. в электродинамике сплошных сред, в акустике и т. д. Относится это и к электромагнитному полю в вакууме — излагавшийся в гл. 1 и гл. 6 гамильтоновский метод в электродинамике вакуума и среды является очевидной тому иллюстрацией. Впрочем, разложение на волны, причем отнюдь не только на плоские волны, выходит за пределы гамильтоновского метода и, как сказано, имеет чрезвычайно широкую область применения. В этой связи сразу же ясно, что проведенное выше исследование электрических флуктуаций в электрическом контуре обобщается не только на дискретные системы (механический осциллятор, дискретные цепи и т. п.), но и на сплошные среды. Отсылая за подробностями, например, к [44, 84, 185, 187], приведем лишь некоторые выражения, относящиеся к флуктуациям электромагнитного поля в среде.
Наличие флуктуаций можно отразить, записывая в рамках линейной электродинамики связь между DhEb виде
D1 (со, г) = ^ Bij (со, г, г') Ejim, г') dr' + K1 (со, г). (14.24)
Здесь уже сделан переход к фурье-компонентам по со, а в остальном эта связь отличается от (11.3) только добавлением флуктуационной электрической индукции К (со, г), учитывающей появление флуктуаций Dhb отсутствие среднего поля Е. В отсутствие внешних источников основные уравнения поля для E и В принимают вид
