Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, обратимся к получению выражения для ((F2)co в равновесном контуре. Начнем с утверждения, что для любого контура
(<Г)И = Я (со)/(со, Т), (14.9)
где /(со, Г) — универсальная, т.е. не зависящая от параметров контура L, С и R, функция частоты со и температуры Т.
Для доказательства соотношения (14.9) рассмотрим два последовательно включенных контура — двухполюсника, образующих замкнутую цепь, схематически изображенную на рис. 14.2 (см., например, [188]; идея доказательства восходит по сути дела к Найквисту [189], рассматривавшему двухпроводную линию). В результате флуктуаций в общем контуре течет некоторый ток J(t), а флуктуационные э. д. с. в каждом из двухполюсников равны соответственно (Fi=ZiZ и (F2 = Z2Z, где Zii2 — импедансы двухполюсников. В термодинамическом равновесии средняя мощность Pi2, отдаваемая двухполюсником 1 двухпо-
Рис. 14.2. Цепь, состоящая из двух последовательно включенных двухполюсников с импедансами Zi и Z2.
319 люснику 2, должна равняться мощности P2і, отдаваемой двухполюсником 2 двухполюснику 1, т. е.
= = (,4.,0)
Здесь Z(со) = Zi + Z2 — импеданс рассматриваемой цепи из двух последовательно включенных контуров (двухполюсников), а к используемым выражениям для мощности легко прийти на основе известного соотношения P = RJ2. Равенство (14.10) должно соблюдаться для любых двухполюсников, в частности, когда при заданных Ri и R2, но различных самоиндукциях Lii2 И емкостях Cl, 2 изменяется импеданс всей цепи Z. Но это возможно лишь в случае равенства подынтегральных выражений, т. е. при условии R2(^f)a = Ri(^l)a. Значит,
ОТи _ (gI)m f. тS
Wl R~2 == R ^z3
представляет собой величину, которая может зависеть от со и Г, но не от параметров контуров (несколько подробнее см. [188а]). Для нахождения функции /(со, Т) мы вправе теперь выбрать уже любой контур и проще всего, конечно, слабо затухающий LC-контур с R -v 0.
Предварительно запишем выражения для средних электрической U и магнитной R энергий в контуре при любых L, С и Ri
_ + OO
1C S -^VXda =
— OO
OO OO
_ 1 Г (S2)a da [ CRf(CQ7T) da /1А1П
CJ со21 2 (со) I2 — J R2C2a2 + (LCa2 — I)2 ' U4-1U
о о
+ 00 оо
К — HL-Jl [ /ТА и — [ U2C2LRf (а, Т) da л,19ч 2 2 J ^ >«>а(*— ) ^2C2CO2+ (LCa2— I)2 ' U4-1^J
-оо О
Если R -v 0, то получающийся контур вполне аналогичен гармоническому незатухающему осциллятору, описываемому уравнением mx + kx = 0, причем собственная частота со,- = = л/k/ni= iJ-y/LC (см. (14.1)). В отношении же осциллятора достаточно хорошо известно (и поэтому мы не будем делать на этот счет дополнительных пояснений), что средняя его энергия при температуре T равна
7
2 С
ha, ha. \ heо, ha,
W = U + K = 2U = 2K = У2тх2 + 42kx2 =^r+ 1I2LJ2 =
( ha, ha. \ ha. ha.
= HtlH--ТГ-ГТЛ—Tl = V-Cth—*-. (14.13)
\ 2 1 ехр [haJxT] -I J 2 2 xT
319 Разумеется, внутренняя энергия самого сопротивления R здесь не принимается во внимание.
Далее заметим, что при малых R интегралы (14.11) и (14.12) имеют резкий максимум при со = со^-= і/д/LC, и поэтому можно положить (строго это справедливо при R -> 0, а = CRjLC)
U
a drі
ті2+ (ті2-I)2
К
— 7^ а2г|2 +(ц^- 1
= iZ2^f (ш, Т). (14.14)
Фигурирующие здесь интегралы берутся точно (проще всего с использованием теоремы о вычетах), но для получения результата достаточно учесть, что при ос->0 оба интеграла сво-
дятся к
S а2
а dr\
+ 4 (ri- I)2
я
T
Сравнивая (14.13) и (14.14) и
учитывая, что частота со,- произвольна, находим для f(co, T)
/(со, Т).
ha ,, ha
~2я~ 2W '
Наконец, из (14.9) получаем формулу Найквиста
ha
=^rRi со) Cth
ha
2 %Т
ha
ехр (ha/xT)
т).
OO
^2 = It S R ^ м cth duy-
(14.15)
(14.16)
В классическом случае, когда Йсо «С хГ, имеем
(If2)a = х7\
ft со < х7\
(14.17)
Приведенный вывод вполне строг или во всяком случае не менее убедителен, чем вывод, основанный на общей флуктуа-ционно-диссипационной теореме. Более того, его можно рассматривать как вывод самой этой теоремы, которая для случайной величины л- имеет вид (см., например, [186], § 124)
(x2
ha" ,, ha "йт П 2W
(14.18а)
где а — мнимая часть а — величины, определяющей отклик системы на внешнее возмущение и в такой же мере иа случайное (флуктуационное) возмущение Q. Конкретно
xa = а (со) Qa
и
Vco' = а (со) а (со') QaQa' = (х\ б (со + со') = | а |2 (Q2)a б (со + со')-
319 Сравнивая это выражение с (14.18а), получаем
(Q2)- = Wcth ш- (14Л8б)
Но, очевидно, формула (14.186) эквивалентна (14.16), если cn = /co/Z(co) и, следовательно, a" = Im a = &R/\Z\2. В том, что для электрического контура величина а имеет именно такой смысл, легко убедиться и непосредственно (см., например, § 78 в [184]). Из сказанного ясно, что и наоборот, отправляясь от формулы Найквиста (14.16), а также уточняя смысл параметра а и величин X и Q, можно получить соотношения (14.18) для достаточно широкого класса случайных физических величин.
Сделаем теперь несколько замечаний, касающихся свойств ІС7?-контура.
