Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Между длинами сторон треугольника ABC существует следующее простое соотношение:
200
ДОБАВЛЕНИЕ I
Чтобы доказать это, соедини^ точки W и С прямой и продолжим эту прямую до её пересечения с АВ б точке D.
Так как два ряда точек X', А, D, Y’ и U, А, С, V проек-
тивны, то в силу известной теоремы об ангармонических отношениях:
ГА JCD VA _ UC .
ГЪ ’ ТА ~ VC ' Ш'
точно так же, вследствие проективности двух рядов точек Y', В, D, X' и Т, В, С, Z,
ХЧЗ YTD _ ZS ТС_
WD WB ZC ТВ
Из умножения этих двух равенств получается, что
КМ WB _ VA^ ucl ZB Тс
WB AM VC UA Z<? ТВ ’
а это последнее равенство показывает справедливость моего утверждения.
Из приведённого выше исследования мы узнаём, что только из аксиом, перечисленных в начале моего письма, и определения длины, с необходимостью вытекающего из простейших свойств этого понятия, следует общая теорема:
В каждом треугольнике сумма двух сторон больше или раяна третьей.
Вместе с тем ясно, что случай равенства имеет место тогда и только тогда, когда плоскость а вырезает из границ нигде не вогнутого тела два прямых куска линий UZ и TV. Это последнее условие можно выразить и без привлечения на помощь нигде не вогнутого тела. Так, если даны две прямые а и b первоначальной геометрии, лежащие в некоторой плоскости а и пересекающиеся в некоторой точке С, то, вообще говоря, в каждой из четырёх частей, на которые разбивается плоскость а прямыми а, Ь, находятся такие прямые, которые не пересекают ни прямую а, ни прямую Ь. Если всё же окажется, в частности, что для каких-либо двух такого рода частей плоскости а, лежащих друг против друга, таких прямых не существует,
О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ 201
го условие, о котором идёт речь, оказывается выполненным, а в таком случае всегда существуют треугольники, для которых сумма двух сторон равна третьей. Таким образом, в рассматриваемом случае возможен между двумя определёнными точками А а В путь, состоящий из двух прямолинейных кусков, общая длина которого равна расстоянию между точками А а В, отсчитываемому по прямой; без особого труда можно покавать, что все пути между точками А и В, обладающие этим свойством, можно составить из построенных путей и что остальные пути, соединяющие точки А и В, обладают бдльшей суммарной длиной. Легко провести более детальное исследование этого вопроса о кратчайшем расстоянии, причём особый интерес представляет тот случай, когда границей нигде не вогнутого тела служит тетраэдр.
В заключение я позволю себе обратить внимание на следующее: в настоящем исследовании я всегда предполагал, что нигде не вогнутое тело лежит всецело в конечной части пространства. Если всё же в геометрии, определённой первоначальными аксиомами, имеются прямая и точка, обладающие тем свойством, что через эту точку к прямой можно провести только одну параллель, то указанное предположение не оправдывается. Легко обнаружить, какие изменения надо в этом случае внести в мои рассуждения.
Клейнтейх у Раушен, 14 августа 1894 г.
ДОБАВЛЕНИЕ II
ПО ПОВОДУ ТЕОРЕМЫ О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Настоящее добавление, представляющее собою переработку моей статьи «По поводу теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника»*) касается роли этой теоремы в геометрии Евклида на плоскости.
Мы положим здесь в основу следующие аксиомы:
I. Плоскостные аксиомы связи, т. е. аксиомы 1,_3 (стр. 57—58);
И. Аксиомы порядка (стр. 58—60);
III. Следующие аксиомы конгруентности:
Аксиомы Ш1_4 (стр. 66—69) в их прежней формулировке и аксиому о конгруентности треугольников Ш5 в более узкой трактовке, при которой мы будем вначале полагать, что утверждение этой аксиомы относится только к треугольникам с одинаковым направлением обхода. На стр. 140 были определены положительные и отрицательные обходы треугольников в плоской геометрии на основе различения понятий «вправо» и «влево». Из определения правой и левой стороны прямой немедленно следует, что из двух сторон любого угла всегда можно, и притом однозначно определённым образом, одну считать правой, а другую левой; при этом правая сторона угла будет лежать
*) «Ueber den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck», Proceedings of the London Math. Soc., т. XXXV.
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРН ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 203
справа от той прямой, которая другой стороной угла определяется как по своему положению, так и по своему направлению; левая же сторона угла лежит слева от прямой, которая другой стороной угла определяется как по своему положению, так и по направлению. О правых сторонах двух углов мы будем говорить, что они одинаково расположены относительно этих углов; то же самое относится и к левым сторонам.
Аксиома о конгруентности треугольников в более узкой трактовке читается так:
