Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что если положить в основу аксиомы I—IV, то разрешимыми оказываются только те задачи на по-
§ 36. ГЕОМЕТРИИ. ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ 181
строение, которые могут быть сведены к вышеуказанным задачам 1—3.
К основным задачам 1—3 мы присоединим ещё следующие две.
Задача 4. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.
Задача 5. Провести прямую, перпендикулярную к данной.
Мы немедленно убеждаемся в том, что обе эти задачи можно различными способами свести к задачам 1—3.
Для выполнения построения задачи 1 нужна линейка. Для выполнения построений в задачах 2—5 достаточно, как мы это дальше докажем, кроме линейки иметь ещё эталон длины— инструмент, который даёт возможность откладывать один *)
вполне определённый отрезок, а________?
например, единичный отрезок. •»— / —. /—„
Мы приходим, таким образом, Черт. 79.
к следующему результату:
Теорема 63. Геометрические задачи на построение, которые могут быть решены на основании аксиом I—IV, требуют для своего решения только линейки и эталона длины.
Доказательство. Чтобы решить задачу 4 [черт. 79], соединим данную точку Р с произвольной точкой А заданной прямой а и отложим единичный отрезок с помощью эталона длины на прямой а от точки А два раза подряд, а именно: сначала до точки В, а затем от точки В до точки С. Пусть D — некоторая точка прямой АР, не совпадающая ни с А, ни с Р и притом такая, что прямые BD и PC не параллельны. В таком случае прямые СР
*) Что в данном случае достаточно потребовать возможности откладывания лишь для одного единственного отрезка, заметил И. Кюршак (J. Kflrschak, «Das Streckenabtragen», Math. Ann. т. 55, 1902).
182
ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
и BD пересекаются в точке Е, а прямая АЕ пересекает прямую CD в точке F. Как показал Штейнер [77], PF является искомой параллелью к прямой а.
Задачу 5 мы решим следующим образом [черт. 80]. Пусть А — произвольная точка данной прямой. Отложим
с помощью эталона длины на этой прямой от точки А по обе её стороны единичные отрезки АВ и АС и затем выберем на каких-либо двух других прямых, проходящих через точку Д, точки Е и D так, чтобы отрезки ДО и АЕ были также равны единичному отрезку. Прямые BD и СЕ пересекаются в точке F, прямые BE и CD пересекаются в точке Н, Прямая FH и является искомым перпендикуляром. Действительно, углы ¦§? BDC и ВЕС, как углы, опирающиеся на диаметр ВС полуокружности, должны быть прямыми, а потому, в силу теоремы о точке пересечения высот, которую мы можем применить к треугольнику BCF, прямые FH и ВС также должны быть перпендикулярными.
На основании задач 4 и 5 всегда возможно опустить перпендикуляр на данную прямую а из точки D, лежащей вне её, или восставить к ней перпендикуляр из лежащей на ней точки А.
Теперь мы можем легко решить также и задачу 3 при
помощи только линейки и эталона длины. Изберём, например, следующий приём, который требует только проведения прямых, параллельных или перпендикулярных данным. Пусть р есть угол, равный которому требуется построить, и пусть точка А — вершина этого угла [черт. 81]. Через точку А проведём прямую /, параллельную заданной пря-
Черт. 81.
§ 36. ГЕОМЕТРИЧ. ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ 183
мой, при которой нужно построить угол [5. Из произвольной точки В одной из сторон угла [3 опустим перпендикуляры на другую сторону этого, угла и на прямую /. Пусть основаниями этих перпендикуляров будут точки D и С. Точки С и D не совпадают, а точка А не лежит на прямой CD. Стало быть, мы можем из точки А опустить перпендикуляр на CD; пусть его основание — точка Е. Согласно доказательству, приведённому на стр. 115, САЕ— р. Если точка В выбрана на другой стороне заданного угла, то точка Е попадает по другую сторону прямой /. Через заданную точку на заданной прямой проводим прямую, параллельную АЕ; тем самым получаем решение задачи 3.
Наконец, чтобы решить задачу 2, воспользуемся следующим про- А В
стым построением, при- ц
надлежащим И. К юр- ерТ‘
ш а к у. Пусть АВ — отрезок, который требуется отложить [черт. 82], а Р — заданная точка на заданной прямой I. Из точки Р проводят прямую, параллельную АВ, и с помощью эталона длины наносят на ней от точки Р по ту сторону от АР, по которую лежит точка В, единичный отрезок, конец которого попадёт в некоторую точку С. Далее, на прямой I от точки Р в заданную сторону откладывают единичный отрезок; пусть его конец попадёт в точку D. Пусть прямая, проведённая через точку В параллельно АР, пересекает прямую PC в точке Q, а прямая, проведённая через точку Q параллельно CD, пересекает прямую / в точке Е. Тогда РЕ — АВ. Если прямая / совпадает с PQ, а точка Q не попадёт по заданную сторону от Р, то это построение можно легко видоизменить.
Итак, показано, что все задачи 1—5 можно решить с помощью линейки и эталона длины, и, следовательно, теорема 63 полностью доказана.