Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
3. Точка всегда снова переходит в точку нашей геометрии.
Пара чисел а;', У, получающаяся при конгруентном отображении из пары чисел х,_у, принадлежащих системе Г, также принадлежит этой системе.
4. Прямая переходит опять в прямую, причём порядок следования точек при этом сохраняется.
Легко получить соотношение
[», т; X + *>] { *0 + «Уо + (« + i'P) s} = Jcj +- <Уо.+(а' +¦
в котором из неравенства а-\- /р ф 0 (так как показательная функция в нуль не обращается) следует неравенство
а,' 1$' ф0.
В качестве непосредственного следствия отсюда находим, что две, различные ,точки преобразуются всегда в различные точки.
5. Существует одно ,и только одно конгруентное отображение, переводящее данный луч А в данный луч А'.
Пусть луч А дан уравнением:
* + //=*о -f ‘>о + («-+ *?) « + $ ?=0, s> 0,
а А' — уравнением: ¦ . . ¦¦ - ’ „
х'-\riy = x'Q-\- iy'0-\- (а' -f a’ -f %гф0, s'>0.
Конгруентное отображение [&,т; Х~Ь*И]> переводящее луч А в А', должно прежде всего точку, из которой исходит луч А, перевести в точку, из которой исходит луч А', т. е.
¦. ..(1)
далее, каждому положительному значению s должно соответствовать положительное значение s' так, чтобы . . .
*0 + '/о-I- (<*' +1Р') S' = [Яу г, X + <JX] {%+ г>0 + (а +1 ?)5У
14 д. Гильберт
МО
ДОБАВЛЕНИЕ II
и; таким образом,
(а' + /р') s' = е'»+С+^(а-|_ /р)5. (2)
Обратно, всякое конгруентное отображение, удовлетворяющее условиям.! 1) и:(2), переводит луч h в луч А', , Разделив последнее равенство на^сопряжённо§ ему мнимое равенство, мы получим
'a'-f/p'____
a'-ij — е a-if ''
Полагая
а' + *Т a — /8 i г. а'-ф ' e-f-/p —+ ^
мы найдём, что
(? -f. щ) (5 — /I)) = к* + I)2 = 1.
5 и rj, будучи числами из Т, представляют собою степенные ряды с параметром t. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях <, мы выводим из этого равенства, что в ряды S и ij параметр t не входит с отрицательным показателем, так что их можно представить в следующем виде:
? = а
где а и Ь — обыкновенные действительные числа, а 5' и ij' — бесконечно малые числа системы 7, й что имеют место соотношения
a«-(_ft2= 1,
2 (a? + br!) + S'2 -f r/2 = 0. (4)
.Равенство (3)
e2i(H + l) — ? -J-
в силу определения тригонбйетрических функций, может быть дреобразовайо так: _ ¦ .
cos 2 \Ь -j- т) == cos 2& cos 2г — sin 29 sin 2т = ?=а -}- ?, siri 2 (& -j- т) == sin 2&'Cos"2t -f- cos 2&sin 2т = ц — Ь -f- ij'.
:,Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t я этих равенствах, мы найдём, что
cos 2& = a, sin 2d = Ь.
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ! ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 211
Отсюда, в силу соотношения а?-|- 1 > можно одно-
значно определить действительное число, & с точностью до слагаемого кратного п. Подставив значения cos 28 = а, sin 2в (5), мы придём к соотношением:
cos 2т =1 -(- а?' -|- Ьт{, sin 2т= ajj'— ЬЧ;
а так как, в силу соотношения (4), сумма квадратов правых частей равна 1, то бесконечно малое число т определяется однозначно. Оно может быть вычислено на основании двух последних равенств с помощью приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях t.
Так как & определено только с точностью до слагаемого, кратного тг, то множитель е'®+(1+')т определён только с точностью до знака. Как легко заметить, только один из двух знаков даёт в равенстве (2) для положительных значений s положительные же значения s'. Итак, действительное число & определяется с точностью до слагаемого, кратного 2тг. Подставив эти значения 9 и т в равенство (1), мы определим однозначно числа л и ц системы Т. Наконец, убеждаемся, что равенства (1) и (3), а следовательно, и найденные значения &, т, I, ц не зависят от способа представления лучей А и Л'.
6. Для любых двух точек В существует конгруентное отображение, переводящее точку А в В и точку В в А.
А именно, если точки А, В имеют соответственно координаты (jc,, yj и (х2,у2), то конгруентное отображение
[к, 0; *t + *8+/(>,+>,)]
и является искомым.
7. Если некоторое конгруентное отображение переводит луч h в луч h' и точку Р в точку F, то точки Р и Р' одинаково расположены относительно лучей h и h'.
Покажем сначала, что определители
*2 — *,Л- УН |jei —*1 Уг — У\\
*а — *i Уь — У\\ И К — .Уз ~у\|
14*
212
ДОБАВЛЕНИЕ II
имеют одинаковые знаки в том и только в том случае, когда точки (дс8, д>3) и (х'3, у'3) одинаково расположены (см. стр. 203) относительно направленных прямых, определяемых соответственно точками • (д^, ух), (х2, у2) и (*', y'j, (х!г, у'2). Прежде всего, из данного на-стр. 137—138 определения терминов «справа» и «слева» заключаем, что точки (;с3, у3),
