Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
178
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
первые два из которых одновременно не обращаются в нуль. Тот факт, что точка лежит на прямой, характеризуется равенством
их -f- vy -j- w — О,
а параллельность прямых (u:v:w) и (u’:v'\m') — пропорцией
u:v = u’:v’.
Пусть в заданной таким'образом геометрии рассматривается чистая теорема о точках пересечения. Под чистой теоремой о точках пересечения мы понимаем здесь высказывание о взаимном расположении точек и прямых и о параллельности прямых, причём в этом высказывании никакие другие взаимоотношения, как, например, конгруентность илн перпендикулярность, не должны быть использованы. Каждая такая чистая теорема о точках пересечения может быть приведена к следующему виду.
Сначала произвольно выбирается система из конечного числа точек и прямых; затем заранее предписанным образом к некоторым из этих прямых проводят произвольные параллели, выбирают на некоторых прямых произвольные точки и проводят через некоторые точки произвольные прямые; если теперь заранее предписанным образом соединять имеющиеся точки прямыми, находить точки пересечения имеющихся прямых, проводить через имеющиеся уже точки параллели, то мы, в конце концов, придём к вполне опре^ делённой системе конечного числа прямых, о которых теорема утверждает, что они или проходят через одну и ту же точку или параллельны.
Координаты точек и прямых, которые мы совершенно произвольно выбираем вначале, мы будем рассматривать как параметры р,,..., рп; у точек и прямых, выбранных затем с ограниченным произволом, некоторые из координат мы будем рассматривать как дальнейшие параметры pn+v ¦.., рг; остальные же их координаты мы выразим через параметры р„ .. ., рг. Координаты прямых, соединяющих имеющиеся уже точки, точек, образующихся при пересечении имеющихся уже прямых, и прямых, проводимых через имеющиеся у^ке точки параллельно имею-
§ 35. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ О ТОЧКАХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 179
щимся прямым, будут рационально зависящими от этих параметров выражениями
Л(р„..., рг).
В таком случае содержание доказываемой теоремы о точках пересечения сведётся к утверждению, что некоторые из этого рода выражений будут иметь равные значения, если мы будем придавать параметрам в этих выражениях одинаковые значения; иными словами, теорема о точках пересечения сводится к утверждению, что некоторые вполне определённые выражения -4 (р,,.. ., рг), рационально зависящие от определённых параметров рг, обращаются в нуль всякий
раз, как мы вместо этих параметров подставляем в эти выражения какие-либо элементы исчисления отрезков, введённого в рассматриваемой геометрии. Так как область этих элементов бесконечна, то, в силу известной теоремы алгебры, мы приходим к заключению, что выражения
R(Pv...,Pr)
должны, на основании законов исчисления 1—12 § 13, тождественно обращаться в нуль[7в]. Но после того, что выше было доказано о применении законов счёта, ясно, что для доказательства тождественного обра* щения в нуль выражений R (pv . .. , рг) в нашем исчислении отрезков достаточно применения теоремы Паскаля. Таким образом, мы пришли к следующему выводу:
Теорема 62. Каждая чистая теорема о точках пересечения, имеющая место в плоской геометрии, в которой выполняются аксиоиы. l,_s, 11, IV* и справедлива теорема Паскаля, при помощи построения соответствующих вспомогательных точек и прямых сводится к комбинации конечного числа конфигураций Паскаля.
Итак, если при доказательстве теоремы о точках пересечения пользоваться теоремой Паскаля, то можно не прибегать при этом доказательстве к аксиомам конгруентности и непрерывности.
Г Л Л В Л С Е А ъ М A St
¦ .. —¦ -- —*
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ОСНОВАНИИ АКСИОМ I—IV
§ 36. Геометрические построения с помощью линейки и эталона длины
усть дана пространственная геометрия, в которой имеют место все аксиомы I—IV; для простоты в этой главе мы будем рассматривать только плоскую геометрию, содержащуюся в этой пространственной геометрии, и исследуем вопрос, какие из элементарных задач на построение наверное разрешимы в этой геометрии (предполагая наличие соответствующих практических средств).
На основании аксиом 1, II, IV всегда можно решить следующую задачу:
Задача 1. Провести прямую через две точки и найти точку пересечения двух прямых, при условии, что эти прямые не параллельны.
В силу аксиом конгруентности III можно откладывать отрезки и углы, т. е. в рассматриваемой геометрии возможно решение следующих задач:
Задача 2. Данный отрезок отложить на данной прямой от некоторой точки по данную сторону от этой точки.
Задача 3. Данный угол отложить от данной прямой в данной тоже по заданную сторону этой прямой или провести прямую, пересекающую данную прямую в заданной точке под данным углом.
