Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 67

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 169 >> Следующая


то луч к' не проходит внутри угла §?¦(&. k).

Справедливость аксиомы соседства V8 доказывается следующим образом. С помощью второй- теоремы о конгруентности треугольников и аксиомы IV легко прказатц что для любого отрезка, лежащего внутри треугольник», можно найти конгруентный отрезок, который, исходя из вершины треугольника, лежит на стороне этого треугольника или внутри его.

На основании аксиомы 111, найдётся один и притом только один отрезок OB', исходящий из точки О, направленный по полуоси х в её положительную сторону и конгруентный отрезку АВ. Абсциссу ji точки В' мы примйм за длину отрезка АВ:

АВ==$.

Рассмотрим теперь треугольник с вершинами О (0, 0), С (у; ' о)', D ^ , ^-^З^ . Это — равносторонний треугольник с равными углами, как это показывает, кон^груент*-ное отображение |"у, 0; -|-j , переводящее точку О в С,

точку С в D, а точку D в О. Свободный конец F отрезка, конгруентного АВ, исходящего из точки О и либо идущего по одной из сторон угла §С COD, либо проходящего внутрь этого угла, может быть -представлен в виде:

[M;0]p;

Однако все точки, которые можно представить в этом виде, лежат по другую сторону прямой CD; в этом можно убедиться на основании сказанного на стр. 207, подставив
216

ДОБАВЛЕНИЕ II

координаты точек О и F в определитель

1 —Уз

х» 2

Л

Тем самым доказано, что внутри треугольника OCD не существует отрезка, конгруентного АВ.

Резюмируя, можно сказать:

В нашей геометрии имеют место все указанные выше аксиомы обычной геометрии на плоскости, за исключением аксиомы Архимеда; при'этом аксиому конгруентности треугольников надо брать в её более узкой трактовке Шд.

Далее, имеет место теорема: Каждый угол можно делить пополам, и существует прямой угол.

Достаточно показать, что можно делить пополам углы, исходящие из точки О. Пусть [fr, t; 0) есть поворот, переводящий правую сторону угла в левую его сторону; поворот правую сторону угла в его бис-

переводит

[*• т* »]

сектрису.

В существовании прямого угла мы убеждаемся при

помощи поворота ' , 0; о] .

Введём теперь понятие зеркального отражения относительно прямой а следующим образом: опустим из некоторой точки А . 'на- некоторую прямую а перпендикуляр [черт. 86] и продолжим этот перпендикуляр за его основание В до точки А' такой, что отрезок ВА’ конгруентен АВ\ точка А’ и называется зеркальным отражением точки Д. Отобразим сначала точку Д с координатами а^>0, Относительно оси х. Пусть угол •§; АОВ между лучом ОА
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 217

и положительной полуосью х равен д—)—т, и пусть какая-либо точка, например, точка лг = у» лежащая на оси х, при повороте на угол &-)-* перейдёт в точку А, так что е/»+(1+От у = a _j_ jjz.

Точка Аслужащая зеркальным отражением точки А относительно осн х, имеет координаты а, — р. Поэтому еслн мы сделаем поворот на угол &4"т> то -точка А’ перейдёт в точку, которая изобразится с помощью мнимого, числа

т. е. в точку, лежащую на положительной полуоси jc; следовательно, угол §; А’ОВ также равен и, таким

образом, этот угол совпадает с углом <? АОВ. Полученный нами результат можно сформулировать так:

Если у двух симметрично расположенных прямоугольных треугольников два катета совпадают, то соответствующие углы, прилежащие к их гипотенузам, равны друг другу.

Как следствие отсюда, мы вместе с тем получаем более общую теорему:

Углы зеркального отображения фигуры всегда совпадают с соответствующими углами отображаемой фигуры.

Из того, что в нашей геометрии прямые определяются линейными уравнениями, можно. без труда получить как основную теорему учения о пропорциях (теорему 42), так и теорему Паскаля (теорему 40). Мы убеждаемся, таким образом, в следующем:

В нашей геомет-рии справедливо учение о пропорциях и, да'лГее, в ней справедливы все теоремы аффинно.й г-ео мет р,и и (ср.:;§ 35).

На основании справедливости аксиомы Ш7 можно показать, что углы в нашей .геометрии можцо однозначным образом сравнивать по их величине.

Благодаря этому обстоятельству можно доказать теорему о внешнем угл^ треугольника (теорема22); а именно, так как в нашей геометрии вертикальные углы
218

ДОБАВЛЕНИЕ II

всегда равны, то можно перенести в неб доказательство, данное на стр. 81 —82. Благодаря же тому обстоятельству, что в нашей геометрии сумма двух углов определяется однозначно, получается, с помощью аксирмы IV, теорема о сумме углов в треугольнике (теорема 31).

Теперь мы подошли уже к основному вопросу —к вопросу о справедливости в нашей геометрии теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника (теоремы И).

Из этой теоремы и из теоремы о внешнем угле треугольника следует, с одной стороны, — при помощи докажу затёльства от противного — тео-
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed