Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ш5. Если в треугольниках ABC и А'В'С' имеют место конгруентности
ASIA'S', АС = А'С' и ЗС ВАС = §; В' А'С',
то для этих треугольников справедлива также конгруентность
$:авс=$:а'в'с',
при условии, что АВ и А'В' суть одинаково расположенные стороны углов ВАС и <? В'А'С.
Из более широкой трактовки Ш5 этой аксиомы и второй части аксиомы Н14 непосредственно следует теорема об углах ‘при основании равнобедренного треугольника (теорема 11, стр. 71). Обратно, можно доказать аксиому в её широкой трактовке Ш6 с помощью принятых нами здесь аксиом
I, И, Шг_4, Ills, теоремы об углах при основании равнобедренного треугольника и двух следующих аксиом:
Шв. Если углы <? (/г', k') и <? {h",k") порознь конгруентны углу <? (h, k), то они конгруентны также друг другу.
Утверждение, содержащееся в этой аксиоме, было доказано на стр. 77 в качестве теоремы 19 с помощью широкой трактовки аксиомы Ш5 о конгруентности треугольников.
1Н7. Если два луча end, исходящие из вершины углч (а, Ь), лежат внутри этого угла, то угол §; (а, Ь) не конгруентен углу <? (с, d).
204
ДОБАВЛЕНИЕ II
Доказательство аксиомы Ш5 с помощью перечисленных аксиом и теоремы об углах при основании равнобедренного треугольника мы здесь опускаем •).
IV. Аксиому о параллельных, которую можно здесь взять в еб более слабой формулировке IV (стр. 86).
V. Следующие аксиомы непрерывности:
Аксиома Архимеда Vj (стр. 87).
(Аксиомой полноты V2, сформулированной на стр. 87, мы здесь не будем пользоваться.)
V3. (Аксиома соседства.) Для всякого произвольно заданного отрезка АВ всегда существует треугольник, внутри которого нельзя найти отрезка, кон-груентного АВ.
Эту аксиому можно доказать с помощью более широ^ кой трактовки аксиомы Ш5 о конгруентности треугольников. Доказательство опирается на следующую теорему, вытекающую из теорем 11 и 23: сумма двух сторон треугольника больше третьей его стороны. Имеет место следующее положение, доказательство которого мы здесь опускаем:
На основании всех введённых нами здесь аксиом I—V можно доказать теорему о конгруентности углов при основании равнобедренного треугольника (теорема И), а тем самым доказать аксиому Ш5 о конгруентности треугольников в её более широкой трактовке.
Является вопрос, можно ли доказать аксиому о конгруентности треугольников в её широкой трактовке, основываясь на узкой трактовке этой аксиомы, но не прибегая при этом к аксиомам непрерывности V13. Дальнейшее исследование покажет, что нельзя опускать ни аксиому Архимеда, даже если предполагать справедливость предложений теории пропорций, ни аксиоф соседства. Геометрии, которые я в дальнейшем буду строить с этой целью, проливают, как мне кажется, новый свет на логическую связь между теоремой о равнобедренном треугольнике и другими теоремами элементарной геометрии на
*) Тот с^акт, что при этом доказательстве более широкую аксиому В. Цабеля (W. Zabel), которой я пользовался раньше, достаточно заменить аксиомой III,, заметил П. Бернайс (Р. В е г п а у s).
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ. ТРЕУГОЛЬНИКА 205
плоскости, особенно на связь между этой теоремой и учением о площади.
Пусть t — параметр, а а — некоторое выражение, содержащее конечное нли бесконечное число членов вида:
в котором <т0 (=7^; 0), ах, а2) ... могут быть любыми действительными числами, а п — произвольное целое рациональ-
ное число Совокупность всех выражений этого вида
а, к которой добавлен ещё 0, мы будем рассматривать как комплексную (в смысле § 13) числовую систему Т, для которой мы установили следующие правила: числа системы Т складывают, вычитают, умножают и делят так, как если бы они были обыкновенные абсолютно сходящиеся степенные ряды, расположенные по возрастающим степеням переменного t. Получающиеся таким образом суммы, разности, произведения и частные являются опять-таки выражениями вида а и тем самым числами комплексной числовой системы Т. Мы будем говорить, что число а или 0, смотря по тому, является ли первый коэффициент а0 в соответствующем выражении для а числом отрицательным или положительным. Пусть аи^ — какие-либо два числа комплексной числовой системы Т; мы говорим, что а<^или чтоа^>($, смотря по тому, будет ли а — [5 <^0 или а — ^^>0. Ясно, что при этих определениях правила 1—16 § 13 выполняются;-напротив того, аксиома Архимеда, правило 17 § 13, в нашей системе Т не выполняется, так как. как бы велико ни было действительное положительное-число А, всё же At<^ 1; итак, наша комплексная числовая система является неархимедовой системой.
Если т есть выражение вида
в котором а0(фО),ах,а2, ... суть действительные числа, а число и, являющееся показателем наинизшей степени, в которой параметр t входит в выражение т, больше нуля, то мы будем т называть бесконечно малым числом комплексной системы Т.
т = a0tn а1<“+1 -{- • • • ,
206
ДОБАВЛЕНИЕ II
Любой степенной ряд вида
