Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Примером применения теоремы 65 могут служить правильные многоугольники, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. В этом случае произвольный параметр р не встречается, а выражения, подлежащие построению, все представляют собою алгебраические числа. Как легко видеть, в данном случае критерий теоремы 65 выполняется [80], и, следовательно, такие правильные многоугольники могут быть построены также с помощью
190 ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
одного только проведения прямых и откладывания отрезков. Этот результат может быть получен и непосредственно из теории деления окружности.
Что касается других задач на построение, известных из элементарной геометрии, то мы отметим здесь только, что с помощью линейки и эталона длины решается проблема Мальфатти [81], но не решается задача Аполлония [82] о касании окружностей*).
*) Относительно других геометрических построений с помощью линейки и эталона см. М. F е 1 d b I u m, <Uber elementar-geometrische Konstruktionen», Inauguraldissertation, Gottingen, 1899.
ЗАКЛЮЧЕН ИЕ
Настоящая работа представляет собою критическое исследование основ геометрии; в этом исследовании нами руководил принцип разбирать каждый представившийся вопрос так, чтобы при этом исследовать, можно ли получить на него ответ на предначертанном заранее пути при помощи определённых ограниченных вспомогательных средств. Этот принцип содержит, как мне кажется, общее и естественное положение; действительно, когда мы при наших математических исследованиях встречаемся с некоторой проблемой или предполагаем справедливость некоторой теоремы, то наше стремление к познанию бывает удовлетворено лишь после того, как нам удастся полностью решить проблему и строго доказать теорему, или после того, как нами полностью осознается невозможность такого решения (или доказательства) и тем самым становится очевидным, что все такие попытки неминуемо обречены на неудачу.
Поэтому-то в новой математике вопрос о невозможности определённых решений или неразрешимости некоторых задач играет выдающуюся роль, и стремление ответить на подобного рода вопрос часто служило толчком для открытия новых и плодотворных областей исследования. Напомним только о доказательстве Абеля невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, далее, о выяснении недоказуемости аксиомы о параллельных и, наконец, о теоремах Эрмита и Линдеманна — о невозможности построить числа е и тт алгебраическим путём.
Тот принцип, в силу которого следует повсюду выяснять условия возможности доказательства, теснейшим образом связан также с требованием «чистоты» методов доказательства — требованием, энергично выдвигаемым многими
192
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
математиками. Это требование, в сущности, есть не что иное, как субъективное выражение принципа, которому мы здесь следовали. В настоящем геометрическом исследовании мы всюду стремились установить, какие аксиомы, предположения или вспомогательные средства необходимы для доказательства некоторой истины элементарной геометрии; после этого, в каждом данном случае остаётся взвесить, какой метод доказательства следует предпочесть исходя из принятой только что точки зрения.
Д. ГИЛЬ БЕРТ
ДОБАВЛЕНИЯ
К
-ОСНОВАНИЯМ
ГЕОМЕТРИИ"
*
ДОБАВЛЕНИЕ I
О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ*)
(Из письма Ф. Клейну. Перепечатано из Math. Ann., т. 46.)
Если за элементы принять точки, прямые н плоскости, то для обоснования геометрии могут служить следующие аксиомы:
1. Аксиомы, указывающие на связь этих элементов друг с другом; в этой формулировке эти аксиомы гласят:
Любые две точки А и В определяют прямую а.— Любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость а. — Если две точки А, В прямой а лежат е плоскости а, то прямая а целиком лежит в плоскости о. — Если две плоскости о, {J имеют общую точку А, то они имеют по крайней мере ещё одну общую точку В. — На каждой прямой имеются по крайней мере две точки; на каждой плоскости имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой; в пространстве имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
о *) Относительно более общей постановки этого вопроса см. мой доклад, сделанный на Интернациональном математическом конгрессе в Париже в 1900 году: «Mathematische Probleme>, Gottinger Nachr., № 4, 1900, а также Q. Hamel, lnaugural-Dissertation, Gottingen, 1901 и его же статью: «Ueber die Geo-metrien, in denen die Geraden die KUrzesten sind», Math. Ann., т. 57, 1903.
196
ДОБАВЛЕНИЕ I
2. Аксиомы, с помощью которых вводится понятие отрезка и понятие последовательности точек на прямой. Эти аксиомы были впервые установлены и систематически исследованы М. Пашем*); они в основном сводятся к следующему:
Между двумя точками А, В прямой все?да существует третья точка С той же прямой. — Из трёх точек прямой всегда одна и притом только одна лежит между двумя другими. —Если точки А, В лежат на прямой а, то на той же прямой а всегда найдётся такая точка С, что точка В лежит между точками А и С. — Любые четыре точки Аг, Ait Аъ, At могут быть всегда упорядочены таким образом, чтобы точка At лежала между точками Ah и Ak всякий раз, как индекс h меньше, а индекс k больше индекса i. — Всякая прямая а, лежащая в плоскости а, делит точки этой плоскости на две области, обладающие следующим свойством', любая точка А одной области вместе с любой точкой А' другой области определяют отрезок АА', внутри которого лежит точка прямой а; напротив, любые две точки А и В одной и той же области определяют отрезок АВ, не содержащий ни одной точки прямой.
