Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
рема, обратная теореме
об углах при основа-q нии равнобедренного
треугольника (теорема 24); с другой стороны, с помощью из-р вестного доказательства Евклида,
Черт. 87. теорема о том, что сумма
двух сторон треугольника больше третьей. Однако, как мы покажем, ни одна из этих двух теорем в нашей геометрии не выполняется; тем самым будет доказано, что теорема об углах при основании равнобедренного треугольника не имеет в ней места.
Рассмотрим треугольник OQP [черт. 87], вершины которого имеют координаты: 0, 0; cos#, 0; cost, — sint. Длина (см. стр. 215) отрезков ОР н QP находится При помощи
конгруентного отображения: [0, t\ 0] и |у, 0;—-cost~el Получается, что
ОР = е‘= l+f-f * +
QP = sin t = t — ^r- -f- ... ,
OQ = cost = 1 — • • •
Из определения порядка чисел системы Т следует, что
OQ+QP<OA
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАЛИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 219
Итак, теорема, согласно которой сумма двух сторон любого треугольника больше третьей его стороны, в нашей геометрии ие имеет места. '
Мы видим отсюда существенную зависимость этой теоремы от аксиомы о конгруентности треугольников в е9 широкой трактовке.
Из этого результата немедленно следует:
В нашей геометрии не имеет места теорема об углах равнобедренного треугольника и, следовательно, не выполняется также и аксиома о конгруентности треугольников в её широкой трактовке.
В том, что в нашей геометрии несправедлива также теорема, обратная теореме об углах при основании равнобедренного треугольника, можно убедиться непосредственно на примере треугольника OPR [черт. 87], в котором вершина ^ является зеркальным отображением точки Р относительно пряйой 0Q, т. е. в котором вершина R имеет координаты cos^, sin^. Тогда, в силу доказанной ранее теоремы (стр. 217),
ЗС О PR = ¦§? ORP.
Несмотря на это, стороны ОР и OR не конгруентны. Длина отрезка OR, которая получается при помощи поворота .[0; — t; 0], равна
СЩ==е-‘фОР=е‘.
Мы усматриваем отсюда, что в двух симметрично расположенных прямоугольных треугольниках с одинаковыми катетами гипотенузы, вообще говоря, различны, а потому при зеркальном отображении отрезка относительно прямой готображённый отрезок не должен быть обязательно равеи отображаемому.
Как показал В. Роземанн *), в нашей геометрии
*) W. Rosemann, «Der Aufbau der ebenen Geometrie ohne das Symmetrieaxiom», Dissertation, Gottingen, Math Ana., т. 90, 1922. Там же впервые доказана зависимость выполнения аксиом III,_g от некоторых определённых свойств конгруеитного отображения.
220
ДОБАВЛЕНИЕ II
не выполняется также и третья теорема о конгруентности треугольников (теорема 18), даже в более узкой формулировке, касающейся лишь одинаково расположенных треугольников. Чтобы в этом убедиться, замечаем сна-
I-
чала [черт. 88], что точки А = 0, B = t, C=te 3 образуют равносторонний треугольник. Рассматривая, далее, точку
?) = ,---*----
1 _4<i+flf ’
мы убеждаемся, что AD = /?D, так как конгруентное отображение [0, t; #] преобразует точку D в самоё себя,
а точку А — в В. Далее, путём подсчётов находим, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD. Отсюда, во-первых, следует, что треугольники ACD и BCD, у которых все соответствующие стороны равны* расположены по одну сторону от прямой CD, и во-вторых, что у этих треугольников не все соответствующие углы одинаковы.
Мы рассмотрим ещё в нашей геометрии евклидово учение о площадях многоугольников. Это учение было построено в § 20 на понятии меры площади треугольника. Доказательство того, что эта мера площади равна половине произведения основания на высоту независимо от того, какую из сторон треугольника принять за его основание, было проведено с помощью применения к симметрично расположенным треугольникам аксиомы о коигруёит-ности треугольников. В том, что это положение не может быть д-»казано без этой аксиомы в её широкой трактовке, можно убедиться на примере треугольника OQR [черт. 87]. В нём QR является высотой, опущенной на О Q. Длина отрезка QR
получается с помощью поворота 0; cos4-e J ;
О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 221
оказывается, что
QR =: sin t%
Так как ОQ — cost, то мера площади этого треугольника,, с одной стороны, должна быть равна , cosl-sinf
Найдём основание S перпендикуляра, опущенного из точки Q на OR:
S—cos t -j- leu sin t cos t.
Далее, с помощью конгруентного отображения
Г я ' . -<5~ ч +ОП
[ — ¦j. —Ь —cost-e 2 I
получим, что ___
QS— e-*sin/cos/,
а так как OR = e~‘, то мы, с другой стороны, для меры площади треугольника OQR получаем значение e-*.?-^cosf sinf
