Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 65. Пусть мы имеем задачу на геометрическое построение такого рода, что при её аналитическом решении координаты искомых точек могут быть получены из координат заданных точек с помощью рациональных операций и извлечения квадратного корня', пусть п — наименьшее количество квадратных корней, которое оказывается при этом достаточным для вычисления координат точек-, для того, чтобы рассматриваемая задача могла быть решена только с помощью проведения прямых а откладывания отрезков, необходимо и достаточно, чтобы эта геометрическая задача при привлечении бесконечно-удаленных элементов имела ровно 2а действительных решений и притом для всех положений заданных точек, т. е. для всех значений встречающихся в координатах заданных точек произвольных параметров.
На основании рассуждений, приведённых в начале этого параграфа, ясна необходимость установленного критерия.
§ 37. КРИТЕРИЙ ВЫПОЛНИМОСТИ ПОСТРОЕНИЙ 187
Утверждение, что этот критерий также и достаточен, вытекает из следующей арифметической теоремы:
Теорема 66. Пусть функция f(pv---,p„) получается из параметров pv...,pn при помощи рациональных операций и извлечения квадратного корня. Если эта функция для каждой действительной системы значений параметров представляет вполне действительное число, то она принадлежит полю Q(R), которое получается из pv ..., рп путем четырёх арифметических действий и извлечения квадратного корня из суммы квадратов двух чисел.
Прежде всего, сделаем следующее замечание: ограничение, заключающееся в том, что квадратный корень извлекается из суммы, состоящей только из двух квадратов, можно устранить. Действительно, формулы
У а2 + Ь2+с2 =
V а2 + а» + с2 + & = У (]/> + й» 4-"с*)2 + tP,
показывают, что извлечение квадратного корня из суммы любого числа квадратов всегда можно свести к повторному извлечению квадратного корня из суммы двух квадратов.
Соответственно этому, достаточно, рассматривая поля, которые при построении функции f(pv ...,рп) возникают одно за другим путём последовательного приобщения входящих в эту функцию квадратных корней, доказать, что подкоренное выражение в каждом нз этих квадратных корней в предшествующем поле представляет собою сумму квадратов. При доказательстве этого положения мы будем опираться на следующую алгебраическую теорему:
Теорема 67. Каждая рациональная функция ?(Pv--чРп) с рациональными коэффициентами, которая ни при каких действительных значениях параметров не принимает отрицательного значения, может быть представлена в виде суммы квадратов рациональных
188
ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
функций переменных pv ..., рп с рациональными коэффициентами *).
Этой теореме мы дадим следующую формулировку: Теорема 68. В поле, порождаемом 1,/>j, . ..,р„, всякая никогда (т. е. ни при какой системе действительных значений переменных) не отрицательная функция является суммой квадратов.
Пусть функция /(р„ ..., рп), обладает свойствами, указанными в теореме 66. Распространим последнее утверждение на поля, получающиеся при последовательном приобщении тех квадратных корней, которые нужны для построения функции /. Для этих полей каждая нигде не отрицательная функция, для которой сопряжённые функции также нигде не отрицательны, может быть представлена как сумма квадратов функций соответствующего поля.
Доказательство мы будем вести по методу математической индукции. Рассмотрим поле, которое получается из R путём приобщения одного квадратного корня. Выражение, стоящее под этим квадратным корнем, представляет собою некоторую рациональную функцию fx (pv ..., рп). Пусть /2 (р„ ..., рп) — функция из полученного путём расширения поля (R, которая вместе с сопряжён-
ными ей функциями нигде не принимает отрицательных значений и не обращается тождественно в нуль. Эта функция /2 имеет вид aJr где а и Ь, равно как и /„
суть рациональные функции. Из сделанных относительно /2 предположений следует, что сумма <р и произведение ф функций a-\-bV~f^ и а — bV~f\ нигде не могут принимать отрицательных значений. Функции
(р = 2а, ф = а2 — №fv
*) Для одного переменного эта проблема была впервые разработана мною. Э. Ландау выполнил доказательство этой теоремы для случая одной переменной, использовав при этом очень простые н элементарные вспомогательные методы (см. Е. Landau, Math. Ann., т. 57, 1903). Не так давно полное доказательство этой теоремы было дано Арти ном (см. Ar tin, Hamburger Abhandlungen, т. 5, 1927).
§ 37. КРИТЕРИЙ ВЫПОЛНИМОСТИ ПОСТРОЕНИЙ 189
сверх того, рациональны, а потому они представимы,' согласно теореме 68, как суммы квадратов функций из поля R. Кроме того, <р не может обращаться в нуль тождественно.
Из уравнения
Л-<Р/. + Ф = °,
которому должна удовлетворять функция /2, мы находим:
, /!+Ф (f*)2 , *
/2 = - '~==\J/
Следовательно, в силу сказанного раньше относительно функций (риф, функция /2 может быть представлена как сумма квадратов функций, взятых из поля (R, Vfj)-Результат, полученный таким образом для поля (R,Vfi), соответствует теореме 68, справедливой для поля R. Используя только что применённый приём при дальнейших расширениях, мы придём, наконец, к выводу, что в каждом из полей, к которым мы приходим при построении функции /, каждая функция, нигде не отрицательная вместе со своими сопряжёнными, представляет собою сумму квадратов функций, взятых из соответствующего поля. Рассмотрим какой-нибудь квадратный корень, встречающийся в /. Он, вместе с сопряжёнными ему функциями, должен быть во всяком случае действительным; поэтому подкоренное выражение, вместе с выражениями, ему сопряжёнными, в том поле, из которого оно взято, должно быть нигде не отрицательной функцией; следовательно, это подкоренное выражение представимо в этом поле в виде суммы квадратов. Тем самым теорема 66 доказана; критерий, данный в теореме 65, таким образом, достаточен.
