Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
184
ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
§ 37. Критерий выполнимости геометрических построений с помощью линейки и эталона длины
Кроме рассмотренных нами в § 36 задач из элементарной геометрии, существует ещё большое количество других задач, решение которых требует только проведения прямых и откладывания отрезков. Для того чтобы можно было обозреть область всех решаемых таким образом задач, мы положим в основу дальнейшего нашего исследования прямоугольную хистему координат и представим себе координаты точек обычным образом — как действительные числа или функции некоторых произвольных параметров. Чтобы быть в состоянии ответить на вопрос о том, какова совокупность всех точек, которые могут быть построены, мы прибегнем к следующему рассуждению.
Пусть дана некоторая определённая система точек; образуем порождаемое координатами этих точек поле /?[78]. Оно содержит некоторые определённые действительные числа и некоторые произвольные параметры р. Представим себе теперь совокупность всех тех точек, которые могут быть построены из заданной системы точек путём проведения прямых и откладывания отрезков. Поле, образованное координатами этих последних точек, обозначим через Q (/?); оно содержит также некоторые определённые действительные числа и функции произвольных параметров р.
Наши исследования в § 17 показали, что проведение прямых через две точки и проведение прямых, параллельных данный, аналитически сводится к сложению, умножению, вычитанию и делению отрезков; далее, известная, данная в § 9, формула для вращения показывагт, что откладывание отрезков на любой прямой не требует никаких других аналитических операций, кроме извлечения квадратного корня нз суммы двух квадратов, первые степени которых уже построены. Обратно, на основании теоремы Пифагора, с помощью прямоугольного треугольника всегда можно путём откладывания отрезков построить квадратный корень из суммы квадратов двух отрезков.
§ 37. КРИТЕРИЙ ВЫПОЛНИМОСТИ ПОСТРОЕНИЙ 185
Из этих рассуждений следует, что поле Й(/?) содержит те и только те действительные числа и функции параметров р, которые получаются из чисел и параметров, содержащихся в R, применением конечного числа раз пяти следующих операций счёта: четырёх арифметических действий и пятой операции — извлечения квадратного корня из суммы квадратов. Полученный нами результат мы можем формулировать следующим образом:
Теорема 64. Требуемое, в задаче геометрическое построение можно выполнить путём проведения прямых и откладывания отрезков, т. е. с помощью линейки и эталона длины, в том и только в том случае, когда при аналитическом решении этой задали координаты искомых точек представляют собою такие функции координат заданных точек, выражение которых требует применения конечного числа рациональных операций и операции извлечения квадратного корня из суммы двух квадратов.
На основании этой теоремы мы можем тотчас же убедиться в том, что не всякая задача, разрешаемая с помощью циркуля и линейки, может быть решена также и с помощью одной тол'ько линейки и эталона длины. С этой целью примем в качестве основы ту геометрию, которая была построена в § 9 с помощью поля алгебраических чисел Q; в этой геометрии существуют только такие отрезки, которые можно построить с помощью линейки и эталона длины, а именно .отрезки, определяемые числами поля Q.
Если о) есть некоторое число поля Q, то из определения поля Q легко усмотреть, что всякое ' алгебраическое число, сопряжённое о>, также должно находиться в поле Q; но все числа поля Q, очевидно, действительны, а потому поле Q может содержать только такие действительные алгебраические числа, сопряжённые к которым также действительны. Такие числа мы будем называть вполне действительными [79].
Поставим себе теперь задачу — построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого 1 и один катет
|К2| — 1. Алгебраическое число V2-|]/”21 -2, выра-
186
ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
жающее численное значение другого катета, в числовое поле Q не входит, так как сопряжённое ему число
V —2| У~2\ — 2 является мнимым. Стало быть, поставленная задача в принятой за основу геометрии неразрешима, а потому она вообще не может быть разрешена с помощью линейки и эталона длины, хотя соответствующее построение с помощью циркуля и линейки получается немедленно.
Наши рассуждения можно также обратить, т. е. справедлива следующая теорема:
Всякое вполне действительное число лежит в поле Я. Поэтому всякий отрезок, определённый вполне действительным числом, может быть построен с помощью лннейкн и эталона длины. Доказательство этой теоремы получается из соображения более общего характера. А именно, оказывается возможным найти критерий, позволяющий для задачи, разрешимой с помощью циркуля и линейки, непосредственно по аналитической природе этой задачи и её решений судить о том, может ли она быть также решена с помощью одной только линейки и эталона длины. Это получается благодаря следующей теореме:
