Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 61

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 169 >> Следующая


3. Аксиома непрерывности, которой я придаю следующую формулировку.

Если Ах, А2, Ав, ... — бесконечный ряд точек прямой а, а В — точка той же прямой такого рода, что точка At оказывается между Ah и В всякий раз, как индекс h оказывается меньшим индекса i, то существует точка С, обладающая следующим свойством', все точки бесконечного ряда А2, As, А4, .. . лежат между Л, и С, и любая точка С', для которой справедливо то же утверждение, лежит между С и В.

С помощью этой аксиомы можно вполне строго обосновать теорию гармонических точек, и если мы будем пользоваться ею, аналогично тому, как это было сделано

*) См. Pasch, «Vorlesungen ttber neuere Geometrie», Teub-ner, 1882.
О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ 197

Ф. JI и н д е м а н н о м *), то мы придём к следующей теореме:

Можно сопоставить каждой точке трн конечных действительных числа х, у, г, а каждой плоскости — линейное соотношение между этими тремя числами х, у, z так, чтобы все точки, для которых соответствующие три числа х, у, z удовлетворяют линейному соотношению, лежали в соответствующей плоскости, и обратно, всем точкам, лежащим в этой плоскости, были сопоставлены числа х, у, z, удовлетворяющие соответственному линейному соотношению. Истолкуем теперь х, у, z как прямоугольные координаты точки в обыкновенном евклидовом пространстве. Тогда точкам первоначального пространства будут соответствовать точки внутри некоторого нигде не вогнутого тела евклидова пространства и, обратно, всем точкам внутри нигде не вогнутого тела будут соответствовать точки нашего первоначального пространства: наше пространство отображается, таким образом, на внутренность нигде не вогнутого тела евклидова пространства.

При этом под нигде не вогнутым телом надо понимать тело, обладающее следующим свойством: если две точки, лежащие внутри этого тела, соединить прямой, то часть этой- прямой, лежащая между этими двумя точками, целиком попадает внутрь тела. Я позволю себе обратить Ваше внимание на то, что рассматриваемые здесь нигде ие вогнутые тела играют большую роль также и в теоретико-числовых исследованиях Г. Минковского**) и что Г. Минковский нашёл для них простое аналитическое определение.

Обратно, если в евклидовом пространстве дано любое нигде не вогнутое тело, то оно определяет вполне определённую геометрию, в которой выполняются все указанные аксиомы: каждой точке, лежащей внутри нигде не вогнутого тела или вне его, а также прямым и плоскостям евклидова пространства, лежащим вне этого тела, не соответствуют никакие элементы обобщённой геометрии.

*) См. Clebsch-Lindemann, «Vorlesungen tiber Geo-metiie», т. II, часть 1, стр. 433 и далее.

**) См. Н. Minkowski. <Geomeirie der Zahlen», Teubner, 1896 и 1910.
198

ДОБАВЛЕНИЕ I

Итак, приведённая выше теорема об отображении точек обобщвниой геометрии на внутренность нигде не вогнутого тела евклидова пространства выражает то свойство элементов обобщённой геометрии, которое по своему содержанию полностью совпадает с выставленными вначале аксиомами.

Определим теперь понятие длины в нашей обобщённой геометрии и обозначим с этой целью две точки евклидова пространства, которые соответствуют точкам А и В первоначального пространства, также буквами А и В; продолжим затем прямую АВ в евклидовом пространстве за точки А и В до тех пор, пока эта прямая не встретит границ нигде не вогнутого тела в точках соответственно X и У; евклидово расстояние между любыми двумя точками Р и Q евклидова пространств# мы будем кратко обозначать через PQ; в таком случае действительное значение

1 \ УА хв\

мы будем в нашей обобщённой геометрии называть длиной отрезка АВ. Так как

Ж>1,

YB ХА

то длина всегда является величиной положительной.

Легко можно перечислить свойства понятия длины, которые с необходимостью приводят к выражению указанного

вида для АВ\ однако я это опускаю, чтобы не слишком утомлять Ваше внимание этим письмом.,

Установленная для АВ формула показывает вместе с тем, каким образом эта величина зависит от формы нигде не вогнутого тела. Если мы зафиксируем точки А и В внутри тела и будем менять границы тела так, чтобы граничная точка X двигалась по направлению к А, а точка У прибли-

YA

жалась к В, то, очевидно, как дробь -=-, так и дробь

ХВ ^

¦=- будут увеличиваться, и, следовательно, будет увели-ХА

чиваться и значение АВ.
О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ 199

Пусть теперь внутри нигде, не вогнутого тела дан треугольник ABC. Плоскость а этого треугольника вырезает из тела нигде не вогнутый овал [черт. 83]. Представим

себе далее, что каждая из трёх сторон АВ, АС, ВС треугольника продолжена в обе стороны до пересечения с границей овала, и пусть соответствующими точками пересечения будут: X и Y, U и V, Т и Z; соединим прямыми точки U и Z, а также точки Т и V и продолжим эти прямые до их пересечения в точке W. Точки пересечения этих прямых с прямой XY обозначим соответственно буквами X' и У. Положим теперь в основу вместо первоначального овала в плоскости а треугольник UWT. Легко убедиться, что при этом в плоской геометрии, определённой треугольником UWT, длины АС и ВС остаются такими же, как и в первоначальной геометрии, между тем как длина стороны АВ в результате проделанного преобразования увеличится. Чтобы новую длину стороны АВ отличить от её первоначальной длины АВ, мы обозначим её через АВ; итак, АВ АВ.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed