Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
382
ДОБАВЛЕНИЕ IX
нейших условий, т. е. на основании чистой игры формул. Только известная часть комбинаций и следствий из физических законов может быть контролируема опытом, — подобно тому как в моей теории доказательства только реальные высказывания могут быть непосредственно проверяемы. Ценность чистого доказательства существования в том именно и состоит, что благодаря ему исключаются отдельные построения и многие разнообразные построения объединяются одной основной идеей, вследствие чего чётко выступает только то, что существенно для доказательства: смысл доказательства существования состоит
в сокращении и экономии мысли. Чистые теоремы о существовании служили в действительности важнейшими вехами исторического развития нашей науки. Но подобные соображения не влияют на верующих интуиционистов.
Игра формулами, о которой Броуер так пренебрежительно отзывается, кроме математической ценности имеет ещё важное общефилософское значение. Эта игра формулами совершается по некоторым, вполне определённым правилам, в которых выражается техника нашего мышления. Эти правила образуют замкнутую систему, которую можно найти и окончательно задать. Основная идея моей теории доказательства сводится к описанию деятельности нашего разума, иначе говоря, это протокол о правилах, согласно которым фактически действует наше мышление. Мышление происходит как раз параллельно разговору и письму путбет создания и нанизывания положений. Если где-либо имеется совокупность наблюдений и явлений, заслуживающая того, чтобы стать предметом серьёзного и основательного исследования, то это именно здесь — ведь задача науки и состоит в том, чтобы освободить нас от произвола чувства и привычки и предостеречь нас от субъективизма, который стал уже заметным во взглядах Кронекера и который, как мне кажется, достиг своего наибольшего развития в интуиционизме.
Наиболее острую и страстную борьбу интуиционизм, повёл против закона исключённого третьего; например, в простейшем случае эта борьба была направлена протиа вывода, по которому утверждение, содержащее число-пере*
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
383
менную, либо справедливо для всех целочисленных значений этого переменного, либо существует число, для которого упом-янутое утверждение ложно. Этот закон исключённого третьего есть следствие логической е-аксиомы и никогда не приводил ни к малейшей ошибке. К тому же совершенно ясно и црнятно, что неправомерное применение этого' закона исключено. В частности, закон исключённого третьего ни в малейшей мере не повинен в появлении известных парадоксов теории множеств; эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и. бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории доказательства исключаются сами собою. Доказательства существования, использующие закон исключённого третьего, имеют большей частью особую прелесть благодаря своей удивительной краткости и изяществу. Отнять у математиков закон исключённого третьего — это то же, чго забрать у астрономов телескоп или запретить боксёрам пользование кулаками. Запрещение теорем существования ¦ закона исключённого третьего почти равносильно полному отказу от математической науки. Действительно, Какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны б$з применения логической е-аксиомы интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики! Теоремы теории функций, если брать только отдельные примеры из нашей науки, теория конформных отображений, основные теоремы теории дифференциальных уравнений в частных производных и рядов Фурье — суть лишь идеальные высказывания в указанном мною смысле, и для своего развёртывания требуют логическую е-аксиому.
Я удивлён тем, что математик сомневается в незыблемой правильности вывода при помощи закона исключённого третьего. Я удивлён ещё более тем, что сейчас объединилась, повидимому, целая группа математиков, которые делают то же самое. Я более всего поражён тем фактом, что вообще в среде математиков может иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека.,
384
ДОБАВЛЕНИЕ IX
Для освещения моего понимания чисел второго числового класса я хочу нацрмнить следующее положение. Если для определённого числа второго числового класса дано определение с помощью трансфииитной рекурсии, то отсюда можно для того же числа найти определение, в котором была бы использована только обыкновенная, проведённая по числовой переменной, рекурсия. СмыаГэтого положения состоит в том, что рекурсионно определённую функцию числа второго класса можно в заданной точке вычислить—подобно тому как теоретико-числовую функцию, определённую с помощью рекурсии, всегда можно вычислить для данного числового значения.
Трудность при этом прежде всего состоит в том, чтобы доказать, что если дана последовательность а (я) чисел второго класса с помощью рекурсии а(я') = <р(а(я)),
где <р определяется трансфинитной рекурсией, то эту трансфинитную рекурсию можно исключить.
