Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
IIIj,_ 12. Аксиомы отрицания.
11. (А —>В & В) —у А (закон противоречия),
12. А—*А (закон двойного отрицания).
Эти аксиомы групп I, 11, III суть не что иное, как аксиомы исчисления высказываний. В частности, из 11 и 12 следует формула:
(Д&Л)-^В
368
ДОБАВЛЕНИЕ IX
и далее — логический принцип:
([А-—*В)&{А—*В))-*В.
IV13. Логическая г-аксиома.
13. Л (а) —> /4 (s
Здесь, выражение е (А) означает вещь, для которой высказывание А (а) наверное выполняется, если только, вообще для какой-либо вещи оно выполняется; е мы назовём логической е-функцией. Более точный способ написания для ?(Д), который делает возможной подстановку определённой формулы вместо А (а), таков: ехА (х) или, соответственно: ?уА (у), ... Для выяснения роли логической s-функции заметим следующее:
При формализации s-функция применяется трояким способом:
a) С помощью ё-функции можно определить «все» и «существует», именно следующим образом:
(х)А (*)+=* Л (в (Л)), (Ех)А(х)^±А(г(А)).
Двойная стрелка стоит здесь для объединения двух формул следования; вместо них мы потом будем пользоваться также и знаком «эквивалентности»
На основании этого определения е-аксиома IV)8 даёт верные для знаков «все» и «существует» логические соотношения, именно:
(х)А{х)—>А{а) (аксиома Аристотеля),
(х)А{х)—>{Ех)А(х) (закон исключённого третьего).
b) Если высказывание Щ выполняется для одной и только для одной вещи, то ? (51) есть та самая вещь, для которой высказывание 31 справедливо.
Таким образом, е-функция позволяет дать решение такого высказывания 81, которое выполняется только для одной вещи, в виде:
а = ? (21).
c) Помимо этого, ? играет роль функции произвольного выбора, т. е. в том случае, когда 31 может выполняться
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
369
для ббльшего числа вещей, то е (21) есть какая-то из тех вещей а, для которых 31 выполняется.
За этими чисто логическими аксиомами следуют специально математические аксиомы:
V,4_16. Аксиомы равенства.
14. а = а.
15. (я = ft) — (Л (а) —+ А {Ь)).
VI,e_„. Аксиомы числа.
16. а' ==? 0.
17. (Л (0) & (*)(Л (я)—»-Л(л:'))—*А(а) (принцип полной индукции);
Согласно этому, а’ означает число, следующее за а, и целые числа 1, 2, 3, ... записываются в виде: 0', 0", 0"', ...
Для чисел 2-го класса и для чисел высших канторов-ских числовых классов следует добавить соответстйующие аксиомы индукции, которые, однако, по теории Кантора следовало бы объединить в одну схему.
Наконец, - нам нужны явные определения, которые соответствуют образованию понятий в математике и имеют характер аксиом, а также определённые аксиомы рекурсии, которые получаются из общей рекурсионной схемы. Раньше чем разобрать формулировку этих аксиом, мы должны установить правила, согласно которым аксиомы вообще должны применяться. Действительно, в моей теории содержательные выводы заменены внешними действиями, подчиняющимися определённым правилам; тем самым аксиоматический метод получает ту надёжность и законченность, которая для него доступна и в которой он нуждается для того, чтобы служить основным средством теоретических изысканий.
Во-первых, имеют место следующие соглашения.
Для математических переменных мы будем пользоваться строчными латинскими буквами, а для индивидуальных математических образов (специальных функций) — строчными греческими буквами. Для переменных высказываний (общие формулы) мы будем пользоваться заглавными ла-
24 Д, Гильберт
370
ДОБАВЛЕНИЕ IX
тинскими буквами, а для индивидуальных высказываний — заглавными греческими буквами, например:
7 (а) (а есть число),
N (а) (а есть число второго класса).
Что касается способа подстановки, то при" этом имеют место следующие оговорки.
Вместо высказываний-переменных следует подставлять только формулы, т. е. фигуры, которые составлены из элементарных формул с помощью логических знаков:
—, &, V. —. (*), (?*)•
Элементарные формулы образуются с помощью формул-переменных, возможно, снабжённых аргументами, или с помощью знаков для индивидуальных высказываний, как-то:
-Z. N, =, <,
при условии заполнения соответствующих мест для аргументов.
Вместо математических переменных может быть подставлена любая фигура; однако всякий раз, когда в какой-либо формуле встречается матёматическая переменная, ей всегда должно предшествовать индивидуальное высказывание, стоящее перед знаком следования и характеризующее род этой переменной, например:
Z (и) -—> и —|— 1==:: 1 —|— я,
N (а) —> N (а').
Это условие означает, что допускаются только подстановки обыкновенных чисел или, соответственно, чисел второго класса. В аксиомах V, VI ради краткости опущены ныска-зывання Z (a), Z (Ь), которые должны были стоять в начале этих аксиом.
