Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Роль, которая остаётся бесконечному, это только роль идеи,—если, согласно Канту, под идеей подразумевать понятие, образованное разумом, которое выходит за пределы всякого опыта и посредством которого конкретное дополняется в смысле цельности,— более того, идеи, которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных теорией, намеченной и защищаемой мною здесь.
Наконец, я хотел бы выразить свою благодарность П. Бернайсу за проведённую совместную работу и ценную помощь, оказанную им мне как по существу вопроса, так и в отношении редакции.
ДОБАВЛЕНИЕ IX
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ *)
(Сокращённое изложение статьи из «Abhandlungen des mathematischen Seminars zu Hamburg», т. 6, 1928; выпущено Гамбургским семинаром также отдельным оттиском.)
Я считаю большой честью и вместе с тем и долгом для себя дополнить и продолжить мысли об обосновании математики, которые я однажды, пять лет тому иазад, здесь излагал и которые меня с тех пор живейшим образом занимали. С помощью этого нового обоснования математики, которую справедливо можно именовать теорией доказательства, я преследую важную цель: именно, я хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание ‘ в поддающуюся конкретному показу, строго выводимую формулу и тем самым приведя образования понятий и выводы, которыми пользуется математика, к такому изложенйю, при котором они были бы неопровержимы и всё же давали бы картину всей науки. Я надеюсь, что смогу с помощью своей - теории доказательства полностью достигнуть этой цели, хотя до.её полного завершения нео'бходима ещё большая работа.
Математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам
*) Доклад, прочитанный в июле 1927 г. по приглашению математического семинара в Гамбурге.
366
ДОБАВЛЕНИЕ IX
в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно—определённые внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления. Для того, чтобы логические выводы были надежны, эти объекты должны быть полностью во всех своих частях обозримыми; их показ, их различие, их следование друг за другом и существование одного из них наряду с другими даются непосредственно, наглядно, вместе с объектами как нечто, не могущее быть сведённым ни к чему другому и не нуждающееся в таком сведении. Это — та основная философская установка, которую я считаю необходимой как для математики, так и для всякого научного мышления, понимания и сообщения. В частности, в математике предметом нашего рассмотрения являются сами конкретные знаки, вид которых, согласно нашей установке, может быть непосредственно отчетливо и многократно опознан. Это — наименьшее количество предварительных предположений, без которых ни один научный мыслитель не может обойтись и которые поэтому каждый, сознательно или бессознательно, должен соблюдать.
Основная мысль моей теории доказательства такова: все высказывания, которые составляют вместе математику, пргвращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. Эти формулы отличаются от обычных формул математики только тем, что в них, кроме обычных знаков, встречаются также и логические знаки:
—, &, V. (X), (Ех)
(следует, если —то) (и) (или, либо) (не) ( се) (существует)
Некоторые определённые формулы, которые служат фундаментом этого формального построения математики, называются аксиомами. Доказательство есть фигура, которая должна наглядно предстать перед нами; она состоит из выводов, делаемых согласно схеме
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
367
б которой каждая посылка, т. е. соответствующие формулы © и ©—>-2, каждый раз является либо аксиомой, или получается из аксиомы путём подстановки, либо совпадает с полученной ранее из доказательства формулой, или получается из такой формулы с помощью подстановки. Фор-, мулу мы будем называть доказуемой, если она либо является аксиомой, либо конечной формулой некоторого доказательства.
Доказуемые теоремы, т. е. формулы, получающиеся при этом способе, являются отображением мыслей, которые образуют обычную до сих пор математику.
Намеченной программой уже предначертан выбор аксиом нашей теории доказательства; мы их упорядочим следую-щим образом:
1|_4- Аксиомы следования.
1. А—>-(В—> А) (добавление предпосылки),
2. (А —>- (А —> В)) —> (А —> В) (опускание предпосылки),
3. (Л —v (В -г* С)) —* {В —> (А —> С)) (перестановка предпосылок),
4. (В —у С) —> ((А —* В) —> (А —> С)) (исключение высказывания).
Н5_10. Аксиомы, касающиеся & и \/.
5. А & В —»-А,
6. А & В —» В,
7. А —*(В —>А & В),
8. A-+A\JB,
9. В —уА\/ В,
10. ((А—С) Л (В — С))-+((А\/В-+ С)).
