Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
а = а
а = b (А (а) —+ А (&)),
в то время как остальные предикаты избираются произвольно.
В этой области формул следует отметить те, которые не опровергаются, какой бы смысл мы ни придавали произвольно избираемым предикатам, лишь бы этот смысл был вполне определён. Эти формулы представляют всегда справедливые логические предложения.
Возникает вопрос, можно ли все эти формулы доказать, исходя из правил логических умозаключений и упомянутой аксиомы равенства, другими словами — является лн система обычных логических правил полной.
До сих пор мы убеждались в достаточности этих правил с помощью испытаний. Действительное доказательство этого имеется только в области чистой логики высказываний и в области логики предикатов с одним аргументом. В последней области доказательство полноты этих правил получается из метода решения проблемы разрешимости (Entscheidungsproblem) (проблема исключения Шредера) в том виде, в каком оно было дано, в срязи с намётками Шредера, сначала Левенгеймом, а затем — в окончательной форме — Беманном.
Сегодняшний мой доклад показывает, кйк много проблем ждут ещё своего решения. Но в общем принципиальном смысле даже малейшие следы неясности невозможны; на каждый из возникающих вопросов можно, на основании намеченной мною теории доказательства, ответить математически точным и однознач.ным образом. Соответствующие теоремы можно отчасти доказать уже теперь абсолютно надёжным и чисто математическим методом, исходя из полученных до сих пор результатов; поэтому эти теоремы
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
399
и не подвергались нападкам. Кто желает меня опровергнуть, должен, как это было до сих пор всегда принято в математике и как это останется и в будущем, указать мне точно то место, где находится предполагаемая ошибка. Возражения, в которых этого не сделано, я решительно отвергаю.
Я верю, что моя теория доказательства окажет нам ещё более широкую услугу. Ведь что бы было с истинностью наших знаний вообще и кёк обстояло бы с существованием и прогрессом науки, если бы даже в математике не было достоверной истины? И действительно, в наше время нередко даже в специальных изданиях и в открытых докладах высказывается сомнение и уныние по поводу науки; это есть в некотором роде оккультизм, который я считаю вредным. Теория доказательства делает такую установку невозможной и даёт нам возвышенное чувство убеждения в том, что по крайней мере для математического ума не поставлены никакие границы и что он сам в состоянии проследить законы собственного мышления. Кантор сказал: «Суть математики состоит в её свободе», и я мог бы для склонных к сомнениям и впадающих в уныние добавить: в математике нет никаких Ignorabi'mus (мы не будем знать); наоборот, мы всегда можем ответить на вопросы, имеющие смысл. Подтверждается то, что, возможно, предчувствовал уже Аристотель, именно, что наш ум не производит никаких таинственных фокусов, а наоборот, пользуется только вполне определёнными, установленными правилами — что 'является вмзсте с тем порукой абсолютной объективности его суждений.
ПРИМЕЧАНИЯ
р] В немецком тексте в начале этого абзаца, как н в начале ряда других абзацев, стоит заголовок: «Erklarung», что дословно означает: объяснение, объявление. Сообразно с последующим текстом мы этот заголовок в русском переводе либо совершенно опускаем (как в данном случае), либо переводим словом «определение» (стр. 59) или словом «пояснение» (стр. 70). Для единообразия мы сами в одном месте (стр. 79) ввели заголовок «Определение»
[*) Под плоской геометрией здесь и в дальнейшем понимается геометрия на плоскости, рассматриваемая самостоятельно. Эта геометрия имеет своими элементами лишь точки и прямые н определяется соответственно этому лишь частью аксиом (именно теми, где речь идёт о плоских образованиях).
[3] Немецкий термин «Verknilpfung» мы переводим в большинстве случаев словом «принадлежность»; иногда — словами «соединение» или «сочетание».
Под этим поннмаетс'я, как уже указывалось во вступительной статье (стр. 24—-25), некоторое соотношение, могущее иметь место между точкой и прямой, точкой н плоскостью (причём мы говорим без различия: «точка принадлежит прямой» или «прямая принадлежит точке» и т. д.).
Прямого определения этого соотношения не даётся; взамен этого все его свойства, которыми мы будем заниматься, изложены в аксиомах первой группы. Аксиомы первой группы можно рассматривать, таким образом, как косвенное определение понятия принадлежности.
Что же касается принадлежности прямой к плоскости, о чём мы еще ие упоминали, то для неб в тексте дается прямое определение: прямая а принадлежит плоскости а, если каждая точка, принадлежащая а, принадлежит и а.
{*] Укажем, каким образом вытекают нз аксиом только что перечисленные пять предложений (теоремы 1 и 2).
Теорема 1.
1 От противного (пользуясь 12).
2. Если две плоскости имеют хоть одну общую точку А, то имеют и другую 5 От); тогда существует прямая /45(1]), и эта
