Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, алгебра выходит уже существенно за пределы содержательной теории чисел. Здесь, например,
374
ДОБАВЛЕНИЕ IX
формула
1 —|— а ~ а —1,
в которой а есть собственно число-переменная, уже не является только сообщением о чем-то содержательном, а есть некоторое формальное образование, . доказуемая формула, которая сама по себе никакого значения не имеет, а доказательство которой не может быть содержательно проверено и нуждается во введении индукционной аксиомы.
Формулы
14-3=3 + 1, 14-7=74-1,
обоснованные с помощью содержательных рассуждений, можно также получить с помощью некоторого доказательства из указанной раньше алгебраической формулы, подставив формально вместо а числовые знаки 3 и 7, т. е. применяя правила подстановки.
Итак, уже элементарная математика содержит как формулы, которым соответствуют содержательные сообщения конечных высказываний, т. е. в основном числовые равенства и неравенства или составленные из них более сложные сообщения, -и которые могут быть названы реальными высказываниями теории, так и формулы, которые сами по себе не имеют никакого значения, подобно тому, как числовые знаки содержательной теории чисел не имеют никакого значения и служат только объектами для применения наших правил; эти формулы следует рассматривать •как идеальные образы теории.
Эти соображения показывают, что для того, чтобы дойти до понимания формул как идеальных высказываний, нам необходимо только естественным и последовательным образом продолжить развитие, которому были подчинены и до сих пор обычные математические методы. В таком случае будет естественно и последовательно, если мы теперь поставим как математические переменные, так и логические знаки
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
375
и логические переменные, именно переменные высказывания
А в, с, ...
на одну доску с числовыми знаками и буквами . алгебры и будем одинаково считать их знаками, которые сами по себе не имеют никакого значения, а являются только кирпичами, идущими на постройку идеальных высказываний.
Мы имеегё убедительную причину, побуждающую нас сделать такое распространение точки зрения алгебры на всю математику. Именно, оиа является средством для того, чтобы освободить нас от принципиальной трудности, которая даёт себя уже чувствовать в элементарной теорйи чисел. В качестве примера я снова беру равенство
a -f- 1 r= 1 а;
если мы хотим рассматривать это равенство как выражение сообщения
а+1 = 1+в,-
где а означает любое данное число, то это сообщение не может быть отрицаемо, так как высказывание, что имеется число а, для которого
й “Ь 1 Ф 1 Н- tti
не имеет никакого конечного смысла: ведь все числа перепробовать невозможно. Поэтому по смыслу конечной установки мы не можем применить 'альтернативу, согласно которой равенство вроде предыдущего, в которое входит один неопределённый числовой знак, либо выполняется для всякого числового знака, либо может быть опровергнуто противоречащим примером. В самом деле, такая альтернатива, представляя собой применение закона исключённого третьего, сущесгвенно предполагает возможность отрицать утверждение, что указанное равенство справедливо во всех случаях.
Но мы не можем отказаться от применения закона исключённого третьего, равно как и от всех остальных законов аристотелевой логики, выраженных в наших аксиомах, так как построение анализа без них невозможно.
Кроющаяся в этом существенная трудность устраняется при помощи идеальных высказываний. Если мы присоеди-
376
ДОБАВЛЕНИЕ IX
ним к реальным высказываниям идеальные, то мы получим систему высказываний, в которой справедливы все простые правила аристотелевой логики и имеют законное право все обычные методы математических выводов. Как, скажем, в элементарной теории чисел необходимы отрицательные числа, как современная алгебра стала возможной только благодаря куммер-дедекиндовским идеалам, так и научная математика стала возможной только после введения идеальных высказываний.
Правда, с применением метода идеальных элементов связано одно условие, одно единственное, но необходимое,— это доказательство непротиворечивости. Именно, расширение посредством приобщения идеальных элементов дозволено только в том случае, когда при этом в старой, более узкой области не возникает никаких противоречий, т. е. если соотношения, которые выявляются для старых образов при исключении идеальных образов, всегда остаются справедливыми в этой старой области.
Однако эта проблема непротиворечивости при нынешнем положении вещей вполне доступна исследованию. Дело сводится к тому, чтобы показать, что при введении идеальных образов не могут получиться два логически противоположных высказывания
81,1.
Из аксиомы отрицания следует, как я уже отметил выше, логическая формула:
(А & А) — В.
