Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
((/)И(/)*=*Я(Л)) —(е(Д) = в(?))
(аксиома равенства выбора); е(А) и е(В) в'данном случае являются функциями чисел-переменных, а равенство означает совпадение для всех значений аргументов. Для того, чтобы присоединить эту формулу, необходимо опять-таки доказать её непротиворечивость.
Проблема III.
Вообще утверждается, что система аксиом теории чисел и анализа обладает полнотой; но обычные соображения, с помощью которых показывают, что любые две реализа-
396
ДОБАВЛЕНИЕ X
ции системы аксиом теории чисел или анализа должны быть изоморфны и, таким образом, могут быть отображены одна на другую с сохранением соотношений, ие удовлетворяют требованиям конечной строгости.
Речь идёт о том, чтобы перестроить конечным образом, сначала для теории чисел, обычное доказательство изоморфизма так, чтобы тем самым было показано следующее:
Если можно доказать, что некоторое предложение © ие противоречит аксиомам теории чисел, то невозможно доказать, что предложение © (отрицание ©) тоже не противоречит аксиомам теории чисел.
Также надо доказать положение, стоящее в тесной связи с предыдущим: если некоторое высказывание непротиворечиво, то оно также и доказуемо.
Против моей теории доказательства были сделаны возражения; они в основном базируются на её непонимании. Поэтому я позволю себе сделать здесь ещё некоторые пояснения.
Если имеете» некоторое высказывание или доказательство, то оно должно быть обозримо во всех своих частях. Указание, узнавание вновь, различие и следование одной за другим отдельных частей доказательства должно быть для нас непосредственно наглядным. Без этой установки вообще невозможно мышление и тем более научная деятельность, При исследовании вопроса о непротиворечивости речь идёт о том, можно ли дать доказательство, которое привело бы к противоречию. Если такое доказательство не может быть мне предложено, то тем лучше, — в таком случае я избавлен от исследования. Если же такое доказательство мне предложено, то я могу выбрать из него и рассмотреть внимательно некоторые определённые отдельные части, а следовательно, также и отдельные числовые знаки, которые в них встречаются и, следовательно, уже составлены и построены, и снова их разобрать. Этим, однако, собственно метод полной индукции не будет затронут; наоборот, сущность заключения по полной индукции,—как это показал уже Дедекинд и как это снова подтверждает моя теория доказательства — в том и состоит, что оно применимо не только к отдельным, имеющим конечное значение случаям, но, прежде всего, к тем случаям, в которых
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
397
рекурсия относится к выражениям с любыми связанными переменными (с «все» и «существует»); в таком случае оказывается, что полная индукция является источником понятия математической переменной, к которому с помощью только конечных методов невозможно подойти.
На той основе, которую я только что обсуждал, каждый раз должно проводиться доказательство непротиворечивости приобщения некоторого высказывания. Если такое доказательство удаётся провести, то для высказывания это означает, что в случае, когда из него может быть выведено числовое и имеющее конечное значение высказывание, это последнее каждый раз действительно верио. Доказательство непротиворечивости учит вместе с тем каждый раз, когда доказательство приводит к ложному результату, находить то место, в котором сделана ошибка.
Ясно, что чисто логические проблемы также попадают в область намеченной мною теории доказательства. Примером может служить следующая проблема.
Проблема IV.
Утверждение о полноте системы аксиом теории чисел может быть формулировано также и следующим образом: Если к аксиомам теории чисел присоединить формулу, принадлежащую теории чисел, ио недоказуемую, то, исходя из этой расширенной системы аксиом, можно вывести противоречие.
Так как здесь, в теории доказательства, мы имеем всегда дело с формализированным доказательством, то высказанные нами утверждения о полноте теории чисел заключают в себе вместе с тем и утверждение, что формализированные правила логического вывода достаточны, во всяком случае в области теории чисел.
Вопрос о полноте системы логических правил, поставленный в общем виде, представляет собою проблему теоретической логики. К этой более общей постановке вопроса мы придём, исходя из теории чисел, когда мы из области рассматриваемых формул, в частности также и аксиом, исключим все те, в которые входит знак « '», но зато допустим появление переменных предикатов (логических сказуемых).
398
ДОБАВЛЕНИЕ X
Реально это означает, что мы отвлекаемся от порядкового характера системы чисел и изучаем эту систему только как некоторую систему вещей, к которым могут быть отнесены предикаты с одним или несколькими аргументами. Среди этих предикатов только один, именно равенство (тождество), устанавливается как некоторое вполне определённое соотношение, с помощью обычных аксиом равенства
