Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
**) Neumann, «Zur Hilbertschen Beweistheorie», Math. Zeitschr., т. 26.
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
393
2. Истолкование утверждения о существовании некоторого числа в смысле такого числа: «наименьшее число, которое...»
3. Заключение от п к п —{— 1, при котором формулу
(е(А) = Ь')-+А(Ь)
присоединяют в качестве аксиомы и на неё распространяют доказательство непротиворечивости.
Как вы уже заметили, существенным вспомогательным средством в моей теории доказательства служит символическая запись понятий. Форма, в которой я ею пользуюсь, в основном совпадает _с той, которую первоначально ввёл Рессель.
До сих пор ещё не решены следующие проблемы.
Проблема I.
Доказательство непротиворечивости s-аксиомы для функции-переменной/. Доказательство её уже намечено: Аккер-манн продвинул его так далеко, что оставшаяся задача сводится к доказательству только чисто арифметической, элементарной теоремы о конечности.
С решением проблемы I сразу же получаются ответы на большой комплекс основных вопросов; именно, это доказательство непротиворечивости даёт:
1) закон исключённого третьего для функций целых аргументов и, тем самым, и для действительных чисел;
2) процессы определения, против которых Пуанкаре возражал как против непреднкатнвных, которые Рессель и Уайтхед сумели обосновать только с помощью весьма проблематичной аксномы редукции и в связи с которыми Вейль однажды сказал о существовании в анализе порочного круга (circulus vitiosus).
3. Аксиому произвольного выбора в её более слабой формулировке.
Относительно пункта 3 сделаем следующее замечание. В новейших исследованиях были указаны многочисленные оттенки между слабыми и сильными формулировками аксиомы произвольного выбора. Эти оттенки преимущественно касаются мощности множества множеств и множества
394
ДОБАВЛЕНИЕ X
их представителей, особенно различия между счётными и несчётными множествами.
Руководствуясь теорией доказательства, мы считаем существенным иное различие; именно, мы будем отличать случай, когда требуется, чтобы выбор представителя данного множества был однозначно определён составом элементов множества, независимо от способа определения этого множества, от того случая, когда это не требуется.
Пусть, например, дана некоторая однопараметрическая совокупность множеств М (t), и пусть для каждого значе--ния действительного параметра t множеством М (t) служит вполне определённое множество действительных чисел, содержащее по крайней мере один элемент. Принцип произвольного выбора в своей более слабой формулировке требует, в таком случае, существования однозначной функции f(t) такого рода, чтобы для каждого значения t значение f(t) принадлежало бы к M(i). Принцип произвольного выбора в своей более сильной формулировке требует, кроме того, существования такой функции /(/), для которой
/(*l) =/('*>
всякий раз, как множества М (tt) и М (*2) имеют один и тот же состав элементор.
С помощью s-аксиомы для функции-переменной / мы получаем для множеств действительных чисел принцип произвольного выбора в его более слабой формулировке.
В результате решения нашей проблемы I, мы овладеваем в первую очередь следующими теориями:
1. Теорией действительного числа (дедекиндово сечение, верхняя грань ограниченных множеств действительных чисел).
2; Теоретико-множественным обоснованием учения о числе.— Эта теория не требует никакого принципа произвольного выбора, но нуждается в непредикативных определениях, например, в определении для а^Ь; именно: всякое множество, которое содержит а и которое, содержа п, содержит также и »-)-1, содержит Ь. Раньше при теоре-тнко-множественных обоснованиях теории чисел усматривали проблематическое всегда только в предположении о бесконечности области индивидуумов. Можно убедиться в том,
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
395
что это предположение ие содержит противоречия, уже иа основании доказательства о непротиворечивости его для чисел. Ббльшую трудность представляет доказательство непротиворечивости непреднкативного определения.
Решение проблемы I даёт также полное оправдание гениальному методу Дедекинда, изложенному в его работе «Что есть и чем должны быть числа».
3. Теорией Кантора о том, что числовой ряд есть вполне упорядоченное множество. Благодаря этой теории учение
о числах второго числового класса, которое можно аксиоматически построить совершенно аналогично теории числа, сводится к теории функций чисел-переменных.
Проблема II.
Для дальнейшего развития анализа, особенно для теории точечных множеств (теоретико-множественной топологии), а также для теории чисел второго и более высоких классов следует позаботиться о непротиворечивости g-аксиомы для переменных более высоких видоз и в первую очередь — для функций действительного переменного.
Далее, для доказательства теоремы о полном упорядочении, а также для некоторых доказательств в теории измеримости (доказательства для случаев неизмеримости) требуется аксиома о произвольном выборе в её более сильной формулировке, которая в теории доказательства выражается формулой:
