Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
В определённых случаях П. Бернайсу и И. фон-Нейману удалось провести это исключение. Эти случаи суть первое е-число и первое критическое е-число, по обозначению Кантора.
Первое е-число есть предел последовательности а (я),
где
а (0) = ш,
а (я') = (я — обыкновенное число),
а <о* определяется обычным путём с помощью трансфинитной рекурсии.
Под е-числом, согласно К а и т о р у, понимают число а, для которого а = <о4.
При определении с помощью обыкновенной рекурсии первого s-числа уже требуются занумерованные сорта переменных:
N0 (я) ~ N (а), N*. (а) ¦>- (*) (N„ (*) —* N„ (я (*))).
В. Аккерманну недавно удалось значительно продвинуться вперёд в доказательстве непротиворечивости.
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
385
Я хотел бы закончить свой доклад очень кратким рефератом об этом.
Доказательство непротиворечивости для s-функции сводится к тому, что из предполагаемого доказательства положения 0 ф 0 можно исключить s-функцию в том смысле, что образованные посредством неё фигуры могут быть заменены числовыми знаками так, чтобы формулы, получающиеся из логической 8-аксиомы путём подстановок — «критические формулы», — благодаря этой замене переходили бы в «правильные» формулы.
Эти замены получаются путём последовательного исключения свободных переменных посредством постепенных испытаний; требуется доказать, что этот процесс непременно закончится.
Мы делаем здесь следующие частные предположения:
1. В качестве знака для индивидуальных высказываний мы будем пользоваться только знаком —.
2. Фигуры, которые стоят в качестве аргументов, —¦
мы их будем называть «функционалами»—должны, поскольку они свободны от s-функции, либо сами быть числовыми знаками, либо должны быть построены из них с помощью знаков функций, определяемых при посредстве рекурсионной аксиомы. >
В случае, когда имеется только один образованный при посредстве г функционал и только одна критическая формула, конечность процесса постепенных замен получается следующим образом. Пусть
31 (I) —>-31 (гх 31 (х))
— критическая формула (при этом 8Л31(л:) может находиться также и в f). Сначала заменим еЛ21(я) повсюду через 0. В таком случае все функционалы свободны также от s-функции; мы можем всё вычислить и получить для функционалов числовые значения. Теперь можно среди элементарных высказываний различать «правильные» и «ложные» по тому, будут ли при этом совпадать числовые знаки, находящиеся в обеих сторонах равенств, или нет. Вместо критических формул мы получаем:
31 (5)-31(0).
25 д. Гильберт
386
ДОБАВЛЕНИЕ IX
Либо эта формула правильна, и тогда мы находимся у цели, либо
31(8)
правильно. Во втором случае мы нашли, таким образом, пример j, для которого §1 оказывается верным. В том случае мы делаем новую замену: мы повсюду ?л’Л(х) заменяем через числовой знак §.
Если мы теперь произведём вычисление всех функционалов, то критическая формула перейдёт в формулу
Я(81)-**(8),
которая во всяком случае верна.
Если же имеются несколько g-функций, то они могут оказаться связанными сложным образом, а именно, с одной стороны, в виде «вложения», как-то:
ехй(х, ву3б{у)),
где е^33(.у,) свободно от переменного х, а с другой стороны, в виде «переплетения»
еж (jc, eJ/^8(x, у)).
В случае, когда имеются одни только вложения, никаких принципиальных затруднений ещё не возникает. Мы должны при этом обратить внимание на то, что замену следует делать изнутри и что мы принимаем в расчёт аксиому равенства, например, при двух s-фигурах
вх$1(х, 8^6(у)), е* 31 [х, ву 2) O')),
б случае одинаковых замен для бу(?{у) и еу?)(у) внешнее 8 заменяем также одинаковым образом.
Поскольку замены для внутренних е остаются неизменными, примеры, найденные для внешних е, являются окончательными. Пользование ими может стать невозможным только при условии, что для внутреннего s найден новый пример.
Таким образом, с нахождением примеров для е проникают всё глубже и глубже, поскольку этот процесс не пришёл ещё к завершгнию, так что в конце концов на-
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
387
ходят примеры для е, находящегося внутри всех остальных; эти примеры, в таком случае, являются окончательными, и наибольшая степень наслоения тем самым уменьшается на 1.
Обозревая заданную фигуру доказательства, можно простым образом заранее оценить наибольшее число замен, которые могут потребоваться для того, чтобы все критические формулы стали правильными, — отсюда явствует конечный характер рассуждений.
Большие трудности представляет случай переплетения. Если здесь желательно сделать замену изнутри, то в формуле
ъх%{х, (х,у))
