Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 122

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 169 >> Следующая


Если мы подставим сюда вместо А упомянутое высказывание 31, а вместо В — неравенство ОфО, то мы получим:

,(Я&!)-т* (ОфО).

С помощью' этой формулы мы из 21 и 21 можем вывести, что ОфО. Для доказательства непротиворечивости иам остаётся теперь только показать, что ни при каком доказательстве, проведённом по установленным нами правилам и исходящем из наших аксиом, мы не можем никогда
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

377

притти к неравенству.

ОфО,

т. е. что ОфО не является доказуемой формулой.

Эта задача принципиально так же лежнт в области наглядного рассмотрения, как и в содержательно построенной теории чисел лежит, например, задача доказательства иррациональности V2, Г. е. задача о доказательстве того, что невозможно найтн таких два числовых знака а и Ь, которые находились бы в соотношении а2 — 2Ь2, и где, таким образом, должно быть показано, что невозможно задать два числовых знака, обладающих вполне опреде-лбнным свойством. Соответственно этому, для нас вопрос сводится к тому, чтобы показать, что невозможно дать доказательства определенного свойства. Но формализиро-ванное доказательство есть конкретный и обозримый предмет, точно так же, как и числовой знак: оно от начала до конца сообщаемо. Искомое свойство конечной формулы, состоящее в утверждении «О Ф 0», является свойством самого доказательства, свойством, которое может быть конкретно установлено. Действительно, это можно показать; тем самым мы оправдываем введение наших идеальных высказываний. Одновременно мы убеждаемся в том, что нами тем самым решена весьма актуальная проблема — проблема доказательства непротиворечивости аксиом арифметики.

Повсюду, где применяется аксиоматический метод, встает вопрос о доказательстве непротиворечивости аксиом. В геометрии и в физических теория* удалось свести это доказательство к вопросу о непротиворечивости аксиом, арифметики. Этот метод, очевидно, не применим к самой арифметике. Наша теория доказательства на основании метода идеальных элементов делает возможным этот последний шаг н этим завершает постройку учения об аксиоматике.

Основные положения этой моей теории доказательства я излагал уже по различным поводам; между тем, против этой теории доказательства были сделаны различные возражения и замечания. Я считаю их все вместе и каждое й отдельности настолько несправедливыми, насколько это возможно. Я хотел бы сейчас рассмотреть некоторые из них.
378

ДОБАВЛЕНИЕ IX

Уже Пуанкаре сделал- в различных местах замечания, которые .противоположны моему воззрению. Прежде всего, утверждая, что непротиворечивость способа полной индукции не может быть иначе доказана, как только с помощью той же полной индукции, он оспаривает к priori самую возможность доказательства непротиворечивости аксиом арифметически. Однако, как показывает моя теория, здесь, при обосновании арифметики, рассматриваются двоякого рода индуктивно употребляющиеся методы, именно, с одной стороны, метод наглядного построения целых чисел как числовых знаков, которому также и обратно соответствует разбор данного числового знака или разбор конкретной данной фигуры, построенной аналогично числовому знаку, а с другой стороны — собственно индукция, которая опирается на аксиому индукции и только с помощью которой математическая «временная может играть свою роль в формальном аппарате.

Пуанкаре пришёл к своему ошибочному убеждению благодаря тому, что он не отличал друг от друга эти два совершенно различных индукционных метода. Пуанкаре— этот богатейший идеями и плодовитейший математик своего поколения —имел, к сожалению, явно выраженное предубеждение против теории Кантора, которое мешало ему правильно судить о совершенно новой, величественной концепции К а и т о р а. При этих обстоятельствах П у а н к а-р е должен был отвергнуть мою теорию, которая, впрочем, делала в то время ещё первые, совершенно недостаточные шаги. Авторитет Пуанкаре в значительной мере односторонне повлиял на юное поколение.

Другая оппозиция моей теории исходит от сторонников теории обоснования Ресселя и Уайтхеда, которое рассматривают Principia mathematica *) как окончательное, удовлетворительное обоснование математики. Теория обоснования Р е с с е ля и Уайтхеда есть общее, широко задуманное логическое исследование. В нём обоснование математики опирается, с одной стороны, на аксиому о беско-

*) Whitehead А. N. and Russel В., «Principia mathematical Cambridge, University press, 2-е изд., 1927.
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

379

нечности, а с другой — на так называемую аксиому редукции; обе эти аксиомы суть в полном смысле слова гипотезы, содержательно не обоснованные доказательством их непротиворечивости, гипотезы, всеобщая справедливость которых под сомнением и в которых моя теория, во всяком случае, не нуждается.

Аксиоме Ресселя о редукции противостоит в моей теории правило обращения с . функциями-переменными. В моей теории возможность редукции не предполагается' сначала, а напротив, скорее признаётся не столь уж существенной: только в случае некоторого данного доказательства, приводящего к противоречию, требуется выполнение редукции, и моя теория доказательства учит, что в этом случае редукция должна всегда удаваться.
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed