Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Каково же было состояние вопроса об обосновании к началу этого столетия? Великими классиками и творцами исследований по обоснованиям были Кантор, Фреге и Дедекинд; они нашли своего конгениального истолкователя в лице Цермело. Цермело установил предположения, необходимые для аксиоматического построения теории множеств и тем самым уточнил методы, которые Кантор и Дедекинд применяли неточно и отчасти бессознательно. К тому же эти аксиомы Цермело таковы, что не могло явиться серьёзного сомнения в их справедливости. Образ действия Цермело был вполне оправдан и соответствовал аксиоматическому методу. Всё же пути, которыми, шёл Цермело, под влиянием руководивших тогда математикой кругов были оставлены. Старые возражения Кронекера, направленные против Кантора и Дедекинда, которые мы считали уже давно преодолёнными и которым сам Кронекер не следовал в своих работах, были выдвинуты вновь. И именно Пуанкаре, этот мастер искусства математического изобретения,.из-за несчастного понимания метода математической индукции — понимания, которое уже два десятапетия до того Дедекинд опроверг с помощью обстоятельного доказательства, — помешал продвижению вперёд. Пуанкаре выдвинул
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
391
и поддерживал новое запрещение, запрещение непредикативных высказываний, хотя Цермело тотчас же указал убедительный пример против этого запрета и, кроме того, этот запрет противоречил результатам Дедекинда. К сожалению, в остальном глубоко идущая логика Ресселя, будучи применена к математике, также содействовала лжеучению. Таким образом, произошло то, что наша любимая наука в вопросах, касающихся её арифметической сущности и её основания, как бы находилась в продолжение двух десятилетий в каком-то летаргическом сне.
Я приветствую как пробуждение, как сияющую зарю тот факт, что в последнее время ряд молодых математиков снова вернулся к идеям Цермело; эти математики дополнили-аксиомы Цермело и успешно разработали при этом ряд важных, глубоких вопросов.
Правда, окончательное решение проблем обоснования с помощью этого аксиоматического способа никогда ие будет возможно. Действительно, аксиомы, положенные Цермело в основание, содержат настоящие содержательные предположения, и в доказательстве их состоит, как мне кажется, главная задача исследований по обоснованию математики — ведь уже тогда доказательство непротиворечивости арифметических аксиом было жгучим вопросом. Если же мы примем за исходный пункт и основание доказательства содержательные аксиомы, то математика тем самым потеряет характер чего-то абсолютно достоверного. Принимая предпосылки, мы переходим в область проблематичного, так как различия в мнениях людей основываются большей частью на том, что люди исходят из различных предпосылок. Поэтому в последнее время в ряде докладов до обоснованиям математики я выбрал иовый путь для разработки проблем обоснования. С помощью этого нового обоснования математики, которое справедливо может быть названо теорией доказательства, я надеюсь с вопросами обоснования математики, как таковыми, покончить тем, что я каждое математическое высказывание превращу в доступную конкретному показу и строго выводимую формулу и тем самым перемещу весь комплекс вопросов в область чистой математики.
392'
ДОБАВЛЕНИЕ X
Для полного проведения этой задачи необходимо преданное сотрудничество молодого поколения математиков.
Я желал бы сегодня подробнее осветить в указанном мною направлении некоторые вопросы. Все важнейшие проблемы концентрируются вокруг выставленной мною так называемой е-аксиомы, которая гласит:
A(a)-*A{t{A)).
При применении этой аксиомы следует прежде всего обращать внимание на вид тех переменных, к которым относится е. Когда имеют дело с числами, то то же самое служит для формулировки обычных выводов, содержащих слово «некоторые»: под е (51) понимают некоторое число, для которого высказывание 81 наверное справедливо, если вообще такое число существует.
Я хотел бы указать некоторые проблемы.
В работах Аккерманна*) и Неймана**) проводится доказательство непротиворечивости е-аксиомы для чисел; тем самым разрешены следующие три проблемы:
1. Закон исключённого третьего для чисел, т. е. утверждение: если некоторое высказывание не для всех целых чисел имеет место, то существует число, для которого это высказывание неверно. Например, согласно Кронекеру, целую рациональную функцию переменной х с целыми коэффициентами недопустимо определять как неприводимую тем, что не существует представления этой функции в виде произведения такого же рода двух функций. Я же, с помощью теории доказательств, показываю, что, наоборот, это определение является в чисто математическом смысле вполне строгим; поэтому утверждение Кронекера не только логически неправильно, но и в чисто арифметическом смысле неверно — неверно в том смысле, в каком бывает неверна ложкая арифметическая теорема или ложная теоретико-числовая формула.
*) Ackerman n, «Begrilndung des „tertium поп datur" mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit», Math. Ann., т. 93. С тех nop Аккврманв упростил свое доказательство.
