Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 123

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — ОГИЗ, 1948. — 492 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 169 >> Следующая


Что касается исследований новейшего времени, то тот факт, что снова так живо пробудились стремление и интерес к работам по обоснованию, сам по себе меня в высшей степени радует; но, представляя себе содержание и результаты этих работ, я большей частью не могу согласиться с их направлением; вернее сказать, я считаю, что ббльшая часть их отстала, что они как бы пришли к нам из того времени, когда величественный мир идей Кантора не был ещё открыт.

В этом я также усматриваю причину того, что эти новейшие исследования ни разу не подошли к великим проблемам теории обоснования, как-то: к вопросу о строении функций, к доказательству или опровержению теоремы Кантора о континууме, к вопросу о разрешимости всех математических проблем, об эквивалентности- непротиворечивости и существования математических образов.

Самое обширное место в современной литературе по обоснованиям математики занимает учение, установленное Броуером и названное им интуиционизмом. Я должен более близко рассмотреть некоторые утверждения Броуера не из склонности к полемике, а для того, чтобы ясно выразить свои взгляды и чтобы предохранить от неправильного понимания моей теории.

Совершенно так же, как в своё время это делал К р о-некер, Броуер объявляет, что высказывания о суще-
380

ДОБАВЛЕНИЕ IX

ствовании целиком и полностью не имеют никакого значения, являются ничего не лающими клочками бумаги, если они не содержат в себе построения того образа, существование которого утверждается: благодаря нм математика вырождается в игру.

Примером того, что голое доказательство существования, проведённое с логической s-функцией, отнюдь не является ничего не стоящим клочком бумаги, может служить следующее:

Для обоснования одного высказывания Гаусса, согласно которому выход за обыкновенные, построенные с помощью i мнимые числа для анализа является излишним, Вейерштрасс н Дедекинд произвели исследования, которые привели к установлению и доказательству некоторых теорем. Я в своё время установил общую теорему об алгебраических формах, которая является чистой теоремой существования и по своей природе не может быть превращена в теорему о построении. С помощью одного только применения этой теоремы о существовании я избежал*) длительных и трудно обозримых рассуждений Вейерштрасса и в высшей степени сложных вычислений Дедекинд а, и притом моё доказательство, как я полагаю, впервые вскрывает внутреннюю основу, обусловливающую справедливость утверждений, которые имел в виду Гаусс и которые были установлены Вейерштрассом и Дедекиндом.

Доказательство непротиворечивости даёт вместе с тем и общий метод для получения конечных доказательств из доказательств, проведённых с помощью е-функции для общих теорем такого характера, как, скажем, теорема Ферма. Предположим, например, что мы нашли с помощью е-функцни доказательство для большой теоремы Ферма. Из него можно затем получить конечное доказательство следующим образом:

Предположим, что имеются числовые знаки

р, а,Ь, с ф>2),

*) «Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten komple-xen Gr6fien», G6tt. Nachr., 1896.
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

381

удовлетворяющие уравнению Ферма:

-f- .

В таком случае мы можем также получить это равенство как доказуемую формулу, выражая в форме доказа-

тельства проверку тождества числовых знаков а? ДО и С» .

С другой стороны, согласно нашему предположению, мы

имеем доказательство формулы:

(Z(a)&Z(b)&Z(c)&Z(p)&(p>2))-+ (аР + ЬРфсР);

из неё с помощью подстановки и вывода мы получаем: а» + ДО ф с*.

Таким образом, можно доказать, что как -f- ДО = так и a*1 -f- ДО ф с**.

Однако это невозможно, как показывает доказательство непротиворечивости, проведённое конечным путём.

Приведённые примеры суть только произвольно выхваченные единичные случаи. В действительности математика наполнена примерами, которые опровергают утверждения Броуера относительно теорем существования.

Каково же теперь истинное положение вещей в отношении упрёка о вырождении математики в игру?

Источником чистых теорем существования является логическая s-аксиома, на которой, в свою очередь, основано построение всех идеальных высказываний. А каков результат ставшей тем самым возможной игры формул? Эта игра формул допускает, что всё содержание идей математической науки можно единообразно выразить и развить таким образом, чтобы вместе с тем соотношения и отдельные теоремы были понятны. Выставить общее требование, согласно которому отдельные формулы сами по себе должны быть изъяснимы — отнюдь не разумно; напротив, сущности теории соответствует, что при её развитии нет необходимости, между прочим, возвращаться к наглядности или значимости. Физик как раз требует от теории, чтобы частные теоремы были выведены из законов природы или гипотез с помощью одних только умозаключений, не вводя при этом даль-
Предыдущая << 1 .. 117 118 119 120 121 122 < 123 > 124 125 126 127 128 129 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed