Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
г
lim -Jf- \ R (s) ds = 0. "->00 J
Г->оо _т
Выразим условие (11) через спектральную функцию процесса. Имеем
Т оо Т
т -т
откуда
т
J/?(0(l -jT-)dt= \F{du)±- Je««(l_ipjdt,
4- -Щм= S ^-~rU^F{du) =
— T —OO
oo
-/40}+ \ ^--Trj—~F(du\
— oo
где F(A) = ,Р(Л\{0}), {0} — множество, состоящее из одной точки и = 0. Нетрудно видеть, что при Т —»оо последний интеграл стремится к нулю. Поэтому
г
lim -jr- J /?(/) (l --Ш-) d/= F {0}. (12)
Г->оо _T
Таким образом, имеет место
254 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Теорема 3. Для стационарного в широком смысле процесса равенство (10) имеет место тогда и только тогда, когда его спектральная функция непрерывна в точке и = 0.
Дифференцирование. Пусть {?(0> t^(a, b)}, —оо ^ а <!
< b ^ -J- оо, — гильбертов случайный процесс.
Определение. Случайный процесс {?(0> t ^(а, Ь)}, с. к. дифференцируем в точке (о (дифференцируем в среднем квадратическом), если существует
I' (/0) = l.i.m. + , /„,/„ +А е (а, 6).
п->0 п
Случайная величина t,'(t0) называется с. к. (среднеквадратической) производной случайного процесса в точке t0.
Легко найти необходимые и достаточные условия с. к. дифференцируемости случайного процесса. Так как
М S (^> 4~ л) — 5 . ? (fr> ft)) — S (^о) __
ft hi
*= {B(t0-\- h, t0 + hj) — В (t0, t0 + h}) —¦ В (t0 + h, t0) + В (t0, t0)},
то в силу леммы 1 для с. к. дифференцируемости процесса ?,(t) в точке /о необходимо и достаточно, чтобы существовала обобщенная смешанная производная
d2B{t,t') __
B(io + h,tB + h,)-BVo,to + h,)-B{t0 + h,to) + B(to,to)
11ГП "Г t.------ ^
h, ht-м hh'
Из с. к. дифференцируемости процесса в точке t и неравенства
| м (V (/) - UL+Л) Г g«» ) | < { М | г (0 - jiL+Л1=И* |2 у*
следует
M?'(0 = -^MS(0, (13)
причем производная справа существует.
Если процесс ?(/) с. к. дифференцируем в каждой точке интервала (а, Ь), то производная ?'(/) образует гильбертов случайный процесс на (а, Ь).
Теорема 4. Пусть {?(?)> ^е(а. &)}—гильбертов случайный процесс и обобщенная производная
д2В (t, t') I
§ и ГИЛЬБЕРТОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 255
существует при каждом значении t<=(a, b). Тогда процесс t,(t) с. к. дифференцируем на (а, Ь) и
Bw(t, П = (14)
Д;'с(*> 0 ¦ (15)
где Bi'i' {t, t') = М?' (t) {t') — ковариация процесса ?'(0> a
Bt't(t, t') = M?'(t)^(t') —-взаимная ковариация процессов i'(t) и C(0.
В доказательстве нуждаются лишь формулы (14) н (15). Имеем Bvi{t, t') = MW)l'{t) =
= lim MfT) f?(' + 'l'-?(,l4 - lira A(' + »- П-В(1, О
О V Л / h+0 П
^ dB(t.t')
Следовательно, производная ----------^—- существует и взаимная
ковариация процессов %'(t) и ?(0 дается формулой (15). Далее,
lim М
ft, ft'-»о
(С (? + /»') — ? (П) (5 (< + А) — ? (0) h'h
_ lim В (< + h, t' + h') - В (t, f + h')-B(t + h, t') + В (t, t') ft, ft'-» о AA'
Отсюда вытекает существование обобщенной второй производной
д2В (t, t') dt dt'
(в условии теоремы предполагалось только, что эта производная существует при t = t') и формула (14). ¦
Если процесс ?(0 стационарен в широком смысле, то B(t, t') = R(t — t') и из теоремы 4 вытекает
Следствие 1. Для с. к. дифференцируемости стационарного в широком смысле процесса ?(0 (*е Т) необходимо и достаточно существование обобщенной второй производной корреляционной функции R(t) при t = 0. Если это условие выполнено, то существует обобщенная производная и
Rir(to,to + f)=-^§^-,
Ri'i(to+t, U)=Rr.'dt)=^p-.
Аналогичные результаты имеют место и для с. к. производных высших порядков.
256
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Следствие 2. Если ?(/), t^(—oo, оо),— процесс, стационарный в широком смысле, и
^ u2F (du) < оо,
где F — спектральная мера процесса, то процесс t,(t) с. к. дифференцируем, процесс (?,'(t), ?(0) стационарен в широком смысле и его матричная корреляционная функция R(t) имеет вид
