Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 97

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 214 >> Следующая


Определение. Комплекснозначная случайная функция ?(0) (0 е 0) называется гильбертовой, если

М | ? (0) |2 < оо, 0=0.

Гильбертову случайную функцию можно рассматривать как заданную на 0 функцию со значением в гильбертовом пространстве

0->?(0) = f(0, ю)е#2.

В частности, когда 0 есть промежуток действительных чисел (а, Ь), гильбертову случайную функцию следует рассматривать как некоторую линию в гильбертовом пространстве 3?2 и запись ^ = Ц0),0е(о, Ь) является параметрическим уравнением этой линии. В настоящей главе рассматриваются только гильбертовы случайные функции, поэтому слово «гильбертова» часто будет опускаться.

Пусть на 0 задана неотрицательная функция '-ф (0), принимающая сколь угодно малые положительные значения.

Определение. Случайная величина г\^3’2 называется среднеквадратическим пределом (кратко — с. к. пределом) гильбертовой случайной функции ?(0) при tp(0) —*¦ 0, если ^(0) —> ti при ф (0) —»¦ 0 в смысле сходимости в гильбертовом пространстве .2?2i т¦ е. если для любого е > О найдется такое б > О, что ¦

М | л — S (0) |2 < е2

для всех 0 таких, что 0 < г|)(0) < б.

В частности, если 0 — метрическое пространство с метрикой

^(01, 0г), то функция ?(0) называется среднеквадратически не-

прерывной в точке 0о <= 0 (с. к. непрерывной), если

М[?(0,)-С(0о)12->О при г(0„ 0о)-*О. (1)

Определение. Ковариацией ?(0Ь 02), (01, 02)е02,

гильбертовой случайной функции ?(0) называется величина

В (0Ь 02) = Щ (0.) = (? (00, ? (02)). (2)

Лемма 1. Для того чтобы случайная функция ?(9) имела с. к. предел при г)? (0) —*- 0, необходимо и достаточно, чтобы существовал предел НтВ(0ь 02) при ф(0|)-f- i|}(02)—’> 0. Если это

условие соблюдается и ri = l.i.m. ?(0), то

->о

М|лР= Ит В(0„02). (3)

¦ (ел-* (е2)->о
ГИЛЬБЕРТОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

24»

Доказательство этой леммы несложно и может быть опушено.

Следствие. Для с. к. непрерывности ?(0) в точке 0О необходима и достаточна непрерывность ковариации В (0Ь 02) в точке (0о, 0О).

Необходимость вытекает из леммы 1, а достаточность проверяется простым подсчетом.

Замечание. Из с. к. непрерывности ?(9) в точке 0О вытекает стохастическая непрерывность ?(0) в той же точке. Действительно, в силу неравенства Чебышева

Если ?(0) с. к. непрерывны на 0 (т. е. в каждой точке 0), то это не означает, что выборочные функции с вероятностью 1 непрерывны на 0. Действительно, для процесса Пуассона имеем М|?(^ + А)—ЦО |2= Mi + (М)2, но выборочные функции t,{t) с положительной вероятностью разрывны.

Исследование гильбертовых случайных функций с общей точки зрения является задачей исследования функций в обычном смысле со значениями в гильбертовом пространстве. Использование ковариации, рассмотрение различных типов сходимости, применение специфических теоретико-вероятностных понятий придает задачам анализа случайных функций некоторые особенности.

Интегрирование. Пусть {0, St, m)— полное сепарабельное метрическое пространство с a-конечной полной мерой, {?(0), 0е0}—гильбертова случайная функция. Если ковариация В (0ь 02) непрерывна в точке (0, 0) m-почти для всех 0, то, в силу леммы L и теоремы 1 § 3 гл. IV, для ?(0) существует стохастически эквивалентная, измеримая и сепарабельная случайная функция. Это замечание показывает, насколько ограничительно принятое выше допущение. Из теоремы 2 (гл. IV, § 3) непосредственно вытекает следствие.

Теорема 1. Если

м | е (в) - е (ад I2

^ В (0, 0) m {dQ) < оо,

(4)

в

то с вероятностью 1

в

М J I z (0) |2 m {dQ) = 5 В (9, 0) m {dQ).

(5)

в

в
0 0

"250 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V

Следствие. Пусть /,(0), ? = 1, 2, —функции из

i?2(e, §t, m) и выполнено условие (4). Тогда с вероятностью 1 существуют интегралы

4i = $M0K(e)/n(d0),

0

причем в силу теоремы Фубини

J $M9i)f^m)^)m(d0i)m(d02) =

= J J и (0,) В (0„ 02) /7Щт (d0,) т (d02).

0 8

Сделаем несколько замечаний по поводу определения интегралов от случайных функций.

Замечание 1. Пусть выполнено условие (4) и т(0) < оо. Тогда интеграл

$?(0)m(d0) (6)

в

.для измеримой случайной функции ?(0) определен и конечен с вероятностью 1 для каждой реализации ?(0). При определении интеграла (6) можно поступить несколько иначе. Интеграл

(6) можно определить как с. к. предел лебеговых интегральных сумм для ?(0). Нетрудно убедиться, что это определение совпадает с обычным. Для доказательства достаточно ограничиться неотрицательными случайными величинами. По определению интеграл (6) есть предел при п —* оо
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed