Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
выполняется соотношение
\fm (dx) = l.i.m. J /(«> (*) ? (dx).
Замечание. В частности, если fW(x)—простые функции,
mn
f(n) (Х) = ? cfxA(«) W. Ain) e 2Я, n = 1,2,...,
a=i k
и (8) выполнено, то
mn
5 f (*) ? (dx) = l.i.m. ]T cf ? (4n))¦
k=i
Существование последовательности простых функций, аппроксимирующих произвольную функцию f(x)<=3’2{E, 0, ni), вытекает из общих теорем теории меры. Таким образом, стохастический интеграл можно рассматривать как с. к. предел надлежащих интегральных сумм.
Обозначим через S3o класс всех множеств ЛбЭ, для которых т(Д) < оо. Определим случайную функцию множеств ?(Л) :
С И) = $ Хд (*)?(<**) “5 ?(<**)• (9)
А
262 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Она обладает следующими свойствами:
а) |(Л) определена на классе множеств 0О;
со
б) если Л„ <=80, п = О, 1, 2,..А0= U А„, Л* Г) А-= 0 при
П-1
00
кфг, k>0, г > О, то ?(Л0) = ? ? (Л„) в смысле с. к.-сходи-мости;
в) М?(Л)?(В)=*т(ЛПВ), ДВеЗ30;
г) ? (Д) = ? (Д) при AeSt.
Определение 2. Случайная функция множеств ?, удовлетворяющая условиям а), б), в), называется стохастической ортогональной мерой.
Свойство г) означает, что ?(Д) является продолжением элементарной стохастической меры ?(Д). Таким образом, мы имеем следующую теорему.
Теорема 2. Если структурная функция элементарной стохастической меры ?(Д) полуаддитивна, то ?(А) может быть продолжена до стохастической меры ?(Д).
Замечание. Так как 5’г{?}= <2М?}> то
\f(x)t(dx)=\f(x)l(dx).
В соответствии с этим равенством условимся в дальнейшем отождествлять стохастический интеграл по элементарной ортогональной мере ?(Д), структурная функция которого полуаддитивна, со стохастическим интегралом по стохастической мере ?, определенной соотношением (9).
Сделаем несколько замечаний по поводу определения стохастического интеграла на отрезке прямой. Пусть l(t) (а ^ t < b)—процесс с ортогональными приращениями, т. е.
М (| (t2) - % (/,)) (KQ-Ш) - О
для любых tt е [с, b), t\ < ti < /3 < U, с. к. непрерывный слева:
MIKO-|(s)l2->0 при
Положим
F(t) = M\l(t)-Ua)f-
Из ортогональности приращений процесса ?(/) следует, что при tt > *1
F (h) - М | г (« “ I tt) +1«,) -I (а) Р = F (/,) + М11 (t2) -1 (/,) I2,
§ 21 СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ 263
откуда F(t2)^ F(ti) и F (t) = lim/’(s). Таким образом, Fit) —
8+t
монотонно неубывающая непрерывная слева функция. Пусть 2R — класс всех полуинтервалов А = [/ь t2), а ^ t{ <. t2 ^ Ь, Wu t2))=W2)-Uh), m([tu t2))= F(t2)-F(tx). Тогда SR-полукольцо множеств,
М?(А1)?Щ = т(А1ПА2),
?(Д)—элементарная ортогональная стохастическая мера, структурная функция которой допускает продолжение до меры. Таким образом, можно определить стохастический интеграл Стилтьеса с помощью равенства
ь ь
а а
в котором l(t)—процесс с ортогональными приращениями. Этот интеграл существует для произвольной борелевской функции f(t), [а, Ь), для которой
ь
\\f{t)?F(dt)<<x>,
а
где F(A)—мера, соответствующая монотонной функции F(t). Аналогично определение стохастического интеграла по всей прямой (— со, оо).
Докажем несколько предложений о стохастических интегралах.
Пусть ?(*)—ортогональная стохастическая мера со структурной функцией т, являющейся полной мерой на {?, Щ, и ?(*)е Положим
Я (Л) = $ ХА(*)?(*)?(<**), Л 6= 23.
Тогда
MX(A)k(B)=^%A(x)%B(x)\g(x)\2m(dx) = J \g(x)?m(dx).
АПВ
Если на 23 ввести новую меру
/ {А) = J IS (х) I2 т (dx),
А
то видим, что к (А) будет ортогональной стохастической мерой со структурной функцией 1(A).
Лемма 1. Если /(*)е I}, то f(x)g(x)& 3?з{т) и
\f(x)b(dx) = \f(x)g(x)Wx).
264 " ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Доказательство. Утверждение леммы очевидно для простых
f{x), f (x) = Yick%A {х), Л*е23. Далее, если fh (х)— фундамент к «
тальная последовательность простых функций в З'ъУ), то
I 5 fn (Х) Х (dx) J fn+m (х) A. (dx) |2 = J I fn (х) — fn+m (х) I2 I (dx) =
= 5 I fn (х) — fn+m (х) I2 I ё (*) I2 Ш (dx)r
т. е. }п(х)ё(х) является фундаментальной в Переходя
в равенстве
\ fn (х) Я (dx) = J fn (х) g (х) ? (dx)
