Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
оо
?(*) = & + л/2 (18)
П=1
где go, ?ь • • ¦, %п, ¦ ¦ ¦ независимы и имеют нормальное распределение с параметрами (0, 1). Характер сходимости ряда (18) таков же, как и у ряда (17) .
§ 2. Стохастические меры и интегралы
В ряде вопросов важную роль играют интегралы, записываемые в виде
А
\ fa) dm, а)
а
где /(/)—заданная неслучайная функция, а ?(/)—случайный процесс. Реализации процесса ?(0> вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интеграл (1) нельзя понимать как интеграл Стилтьеса или Лебега — Стилтьеса, существующий почти для всех реализации ?(/). Все же и в этом случае интеграл (1) можно определить таким образом, чтобы он обладал свойствами, присущими обычному интегралу.
В настоящем параграфе дается определение и рассматриваются свойства интеграла, соответствующего интегрированию по случайной мере. Такие интегралы называются стохастическими.
Пусть {?2, @, Р} — вероятностное пространство, Si — = 5*2 (?2, ©, Р), Е — некоторое множество и Ш — полукольцо подмножеств Е. Предположим, что каждому А е ЗЛ поставлена в соответствие комплекснозначная случайная величина ?(А), удовлетворяющая следующим условиям:
1) EtAJeSV ?(0) = О;
2) g(Ai Ц A2) = g(A,) + g(A2) (mod P), если Д,Г)Л2 = 0;
3) Mg (Aj) ? (A2) = m (Ai П A2),
где m(A)— некоторая функция множества на Ш.
Определение 1. Семейство случайных величин {?(Л), А е 931}, удовлетворяющее условиям 1) — 3), будем называть элементарной ортогональной стохастической мерой, а т(А)— ее структурной функцией.
260 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Свойство ортогональности стохастической меры выражается условием 3): если Д1 П Д2 = 0, то величины ?(Д0 и ?(Дг) ортогональны.
Из определения т(Д) следует, что она неотрицательна: /л(Д) = М|?(Д)|2>0, т(0) = 0,
и аддитивна; если Д[ ПД2= 0, то
т(Д1иД2) = Ми(Д1) + Е(Д2)12 =
= т (ДО + т (Д2) + 2т (Д1 П Д г) = т (ДО + т (Д2).
Таким образом, т(Д) является предмерой (гл. II, § 2) наЗЭТ. Обозначим через 3?о{Щ класс всех простых функций /(*):
f{x)=T,ckXA(x), Д6еЗ№, k — \,2,...,n, (2)
i *
где п — любое число и %а(*)—индикатор множества А.
Определим стохастический интеграл от функции f(x)e s по элементарной стохастической мере ?(Д) формулой
П
л = $/(*)№) = ][><?( Да). (3)
*=•1
Так как — полукольцо, то любую пару функций из 3?0{2Л} можно представить как линейные комбинации индикаторов одних и тех же множеств из ?Ш. Поэтому, если Д g ^ S’о{2Я}, то
П
положим, что f(x) дается формулой (2) и g(x)=Zd.xA (х),
* = 1 ь
причем Д^ПДГ = 0 при k Ф г.
Из ортогональности ?(Д) следует, что
Л
М ( ^ f М ? (dx) ^g(x)Z (dx)j = Y ckdk- (4)
fc-i
Предположим, что предмера m удовлетворяет условию по-дуаддитивности и поэтому может быть продолжена до полной меры {Е, S3, ал}. Тогда 3?о{Щ является линейным подмножеством гильбертова пространства 3?2{т} = 3?2{Е, Э, т). Обозначим 2>2{Щ замыкание i?o{3Jt} в 2?2{т}-
Равенство (4) может быть переписано в следующем виде:
M]f(x)Z {dx) jj g (x) ? (dx) =$/(*) FW m (dx) (5)
для любой пары функций f(x), g(x) из 3?o{m}.
Введем теперь линейную-оболочку 3?оЮ семейства случайных величин {?(Д), Де?й}, т. е. множество случайных величин,
5 2] СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ 261
представимых в виде (3), и пространство З’гШ, являющееся замыканием .2?о{?} в гильбертовом пространстве случайных величин 3?ч{0., 0, Р}. Заметим, что соотношение (3) устанавливает изометрическое соответствие ц = ^>(f) между i?o{2N} и i?o{?}. Это соответствие может быть продолжено до изометрического соответствия \|з между 2>2{Щ и 57г{?}- Если = “ф(/), / е то полагаем по определению
Л =Ф(/)=* $/(*)?(<**) (6)
и называем случайную величину стохастическим интегралом функции f(x) по мере ?. Отсюда следует
Теорема 1. а) Для простой функции (2) значение стохастического интеграла дается формулой (3);
б) для любых f(x) и g(x) из 2?ъ{Е, 0, пг} имеет место равенство (5);
в) $[a/(*) + Pg(*)]?(d*) = a$/(*)?(d*) + P$g(*K(^*); (7)
г) для произвольной последовательности функций f(n)(x)i=
е 2?2{E, S3, m} такой, что
$1/М — /<п) (*) I2 m (d*)-> О, п->оо, (8)
