Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть {?(0), 0е0}—гильбертова случайная функция со значениями в Zp, SоШ— множество всех случайных векторов ft
П = Е Cftg(8/0, П= 1,2,..., 046 0, (4)
1
где Сь. — произвольные комплексные числа, и Si{?}—замыка-ние So{l} в смысле средней квадратической сходимости слу-чайных векторов.
Определение. Семейство случайных векторов {ria, а е еЛ}, T]a<=S2{a, ©, Р}, называется подчиненным случайной функции {?(0), 0е0}, если т]а е Si{%}, а <= Д.
Теорема 1. Пусть ковариационная матрица случайной функции {?(0), 0е0} допускает представление (2), где m — положительно определенная матричная мера на {X, S3},
g(Q, х)^ Si{mo}, 0 <= 0, и семейство {g(9, х), 0G0} полно в Si{X, S, m0}. Тогда ?(9) представима по формуле (1), где {ЦВ), ЙеЭ} —¦ некоторая стохастическая ортогональная векторная мера, подчиненная случайной функции |(9) со структурной функцией tn('), и равенство (1) выполняется с вероятностью 1 при каждом 9.
Доказательство. Каждой линейной комбинации
f (*) = ? Ckg (9ft, х), 0* e= 0, (5)
поставим в соответствие случайный вектор т], т] = rjj (/), с помощью соотношения (4). Через So{g} обозначим множество функций вида (5). Определим в So{g} скалярное произведение с помощью соотношения
(fu fi) — J fi (х)Ы*)Щ(dx). (6)
Соответствие л —'НЛ является изометрическим отображением So{#} на So{l}. Следовательно, оно может быть продолжено до изометрического отображения S2{g} на S2{%}. Если 3, то %в (х) е Si {/n0} = S2 {g} в силу полноты семейства функций {g(0, х), 9е0}. Положим ?(Л) = \|j(xa). Тогда ?(Л) является векторной стохастической мерой и ее структурная функ* дия совпадает с m:
М? (Л,) г (Л2) = 5 Хд, (9) V(9) m (dQ) = m(Al(\ Л2).
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ
271
Определим теперь случайную функцию |(0) с помощью стохастического интеграла
1(0) = 5 я (в, *)№).
Так как
М? (0) ?* (Л) = $ g (0, х) ха (*) tn (dx),
то из изометричности соответствия ti = (/) следует равенство
Щ (0) I* (0) = 5 8 (6, X) ЩТ) in (dx).
Отсюда получаем
М | ? (0) — I (G) I2 =
= Щ* (0) I (0) - Ml* (0) 1 (0) - (0) I (0) + М|* (0) I (0) = О
что и доказывает теорему. ¦
Приведем ряд примеров на применение доказанной теоремы. Ради краткости условимся до конца настоящего параграфа писать «стационарный процесс» вместо «стационарный в широком смысле».
Корреляционная матрица стационарного и с. к. непрерывного процесса может быть представлена в виде (см. § 5 гл. I)
оо
R (tu к) = /?(/,- к) = J ег“ (du), (7)
— оо
где F( •) — неотрицательно определенная матричная мера (спектральная матрица процесса). Выражение (7) является частным случаем (2), в котором функции g(Q, лг) соответствуют еш, 0 /, х-*и, причем совокупность функций {еш, — оо <
< и < оо} является полной в S,2{tnQ}, где tnQ — любая ограниченная мера на прямой. Таким образом, применима теорема 1 и мы получаем следующий результат.
Теорема 2. Векторный стационарный с. к. непрерывный случайный процесс l(t) (— оо < / < оо), М|(0= 0. допускает представление
по
!(/)= J ешШи), (8)
— оо
где ?(Л)—векторная ортогональная стохастическая мера на 9, подчиненная ?(/). Между З’гШ u 2*2 (Л)} > где Fo(-) = Sp F(-)t существует изометрическое соответствие, при котором
a) l(t)*-*eita, t(A)4r+xA(uy,
272 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
б) если ть «-»¦ Si («) (t = 1. 2), то
Л< = (и) Ши)
и
Мл 1Л2 = J Si («) sju) F(u).
Формула (8) носит название спектрального разложения стационарного процесса, а мера %{А)—стохастической спектральной меры процесса. Из теоремы 2 следует, что
М5(Л.)Г(^)= J F(du) = F(Ai(]A2), (9)
Л1ГМ2
т. е. F(-) является структурной функцией векторной стохастической меры ?(•)•
Замечание 1. Для любого г] е З’гШ имеем Mri = 0. В частности, для любого А е 0 будет М?(Л) = 0.
Замечание 2. Если М|(0 = а ф 0, то предыдущую теорему можно применить к процессу l(t) — а. С другой стороны, представление (8) можно сохранить и в общем случае, если к ЦА) добавить меру, сосредоточенную в точке и = 0, по ве1 личине равную а.
В качестве примера применения теоремы 2 выведем формулу Котельникова — Шеннона для одномерного случайного процесса, спектральная мера которого сосредоточена на конечном интервале [— В, В]. Разложим функцию еш на интервале [—В, Б] в ряд Фурье. Имеем
00 . , т,, . , ПП
аш_ V sm(Bt-nn) е ~~ L> Bt — пп.
Л"» -оо
