Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если вспомнить энергетическую интерпретацию спектральной функции, то из формулы (13) следует, что |Я(ш)|2 показывает, во сколько раз увеличивается энергия простых гармонических составляющих процесса с частотами в интервале (и, и + du) при прохождении через фильтр.
Теорема 2. Если процесс %(t) на входе фильтра с частотной характеристикой Н(iu) имеет спектральное представление
оо
6(0= { ешШи), (14)
ъ!
— ОО
то процесс т} (/) на выходе фильтра имеет вид
оо
Т)(0= \ eiutH{iu)Udu). (15)
— 00
Действительно, если фильтр имеет абсолютно интегрируемую импульсную переходную функцию, то
ор ОО
T}(/)= $ h{t — s)l(s)ds= ^ eiatH{iu)l(du).
— ОО — X»
Доказательство в общем случае получается с помощью предельного перехода по последовательностям Hn(iu), сходящимся к Н(iu) в 3?2{Р}- В
Пусть rife(/)—процесс на выходе фильтра с частотной характеристикой Hk(iu), Mr]fe(/)=0 (k — 1, 2). Найдем взаимную корреляционную функцию процессов тц(0 и ЛгСО- Из изоморфизма пространств S2{Vi и 3?2{F} непосредственно следует, что
on
Ri2 (0 = Mri, (t + s) Т12 (s) = ^ ешНi (iu) H2 (iu) F (du). (16)
— оо
Приведем несколько примеров фильтров и их частотных характеристик. ‘
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
281
1. Полосовой фильтр пропускает (не изменяя их) только гармонические составляющие процессов с частотами и, для которых а<.\и\<.Ь, а > 0. Частотная характеристика фильтра равна //(ш) = Х(о, ь)(«)+Х(-ь,-о)(«), и фильтр является допустимым для произвольного процесса. Импульсная переходная; функция находится по формуле Фурье:
-i(!4
/.а 1 I V г I I iiu-j sin bt — sin at
;(0=-9^1\+\К du = --------t----
2. Фильтр высоких частот подавляет низкие частоты, не изменяя высоких. Его частотная характеристикаH(iu) = Х(|>?1}(и)г а импульсная переходная функция не существует.
3. Рассмотрим операцию с. к. дифференцирования стационарного в широком смысле процесса. Для существования с. к.. производной процесса l(t) достаточно существования R"{0) (§ 3, следствие 1). Это условие эквивалентно требованию (тео-рема 4 § 5 гл. I)
оо
^ u2F (du) < оо. (17)
С другой стороны, если это условие выполнено, то при h —> 0
Jhu___ i
—^-------> iu (в &2{F})
и в соотношении
tV+V-Ш _] е“- Udu)
— ОО
можно перейти к пределу при h —> 0 под знаком стохастического интеграла. Следовательно,
оо
I'(0= S eituiuUdu). (18)
— 00
Таким образом, операции дифференцирования соответствует фильтр с частотной характеристикой iu, который является допустимым для всех стационарных процессов, удовлетворяющих условию (17). Импульсная переходная функция не существует^ но фильтр можно рассматривать как предельный (е->0) для фильтров с импульсными переходными функциями he(t)=Q
, = -Ж1
ствуют частотные характеристики
при \t\^ е и Ле(/) =--------------р— при |/|<е, которым соответ-
4 sin* -g-
tue*
282 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
4. Операция сдвига времени. Так как
00
l(t + s)=\ ешешШи),
— 00
то операции сдвига времени Ts, 7’s(?|/)= + s), соответст-
вует частотная характеристика H(iu)=eius. Импульсная переходная функция не существует.
5. Дифференциальные уравнения. Рассмотрим фильтр, определяемый линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
L4=Mt (19)
-где
dn dn~l L = Oq —ft- + tfl dtn-l f" • • • + an,
jm jn-1
M — b0—~ + ———r + ... +bm.
dt dt 1
Уравнение (19) имеет смысл только тогда, когда процесс l(tj
т раз с. к. дифференцируем. Тогда мы ищем п раз с. к. диф-
ференцируемый стационарный процесс tj(/)» удовлетворяющий (19). Предположим, что (19) имеет стационарное решение. Его можно представить в виде
оо
г) (0 = 5еШн (*’“) S Ш)-
—оо
Применяя к процессам {¦(/) и т](/) операции М и L (соответственно), получаем
оо оо
