Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
7* (jc* 10 = Г (лс | / -h т) или T(S%x\t) = SxT{x\t),
т. е. если преобразование Т перестановочно с операцией сдвига времени S* (— оо < т < оо).
Простейшим примером линейного преобразования может служить преобразование вида
00
z(0 = ^ h{t, s)x{s)ds, (1)
— оо
для которого класс допустимых функций 2) зависит от свойств ¦функции h{t, s). Пусть на вход системы поступает функция 6X_S, где 6„ — функция Дирака. Тогда z(t) = h(t,$). Таким образом, ¦функцию h(t,s) следует интерпретировать как реакцию системы на 6-функцию в момент времени s. В соответствии с этим h(t,s) называется импульсной переходной функцией системы. Если система 2 однородна во времени, то формально
h(t, a-c) = T{ba-c\t) = T{Sc6a\t) = ScT(ba\t) = h{t + c, а), или, заменив а на с и t на t — с, получим
h(t — с, 0) = h(t, с).
Функция h{t)—h{t-\-c, с) называется импульсной переходной функцией однородной системы.
Таким образом, для однородной системы уравнение (1) принимает вид
оо
z (0 = ^ h [t — s) x(s) ds. (2)
— oo
Операция в правой части соотношения (2) называется сверткой функций h (t) и x(t).
Если функция на входе системы отличается от функции на выходе только скалярным множителем (преобразование Т не
276 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
меняет формы сигнала)
Г(/И) = Я/(0 (-оо </<оо),
то f(t) называется собственной функцией, а К — собственным значением преобразования Т. Для однородных во времени систем с интегрируемой импульсной переходной функцией функ-ции eitu (и — любое действительное число) являются собствен* ными. Действительно, все ограниченные измеримые функции являются допустимыми и
00 оо
^ h{t — s) eius ds — ^ h{s)eiuit~s'1 ds = H {iu)eiut,
— oo —oo
где
oo
H(iu)— ^ h{s)e~isuds (3)
— oo
— преобразование Фурье импульсной переходной функции, яв* ляется собственным значением преобразования.
Таким образом, отношение реакции системы на простую гар* моническую функцию eiut к этой функции
„,.ч T(eisu\t)
И (щ) == ~iut
не зависит от времени. Функция Н (iu) называется частотной характеристикой системы или коэффициентом передачи.
Можно несколько иначе интерпретировать частотную характеристику системы (2), рассматривая иной класс допустимых функций. Пусть x(t) интегрируема. В силу теоремы Фубини
00 оо оо
J | г (/) | dt ^ ^ J | h (t — s) | 1 x (s) | ds dt —
— CO —oo —-oo
00 oo
= J |*(s)|c?s ^ \h(t)\dt <oot
— oo —oo
т. e. функция z(t) также интегрируема. Рассмотрим преобразование Фурье функции z(t). Применяя теорему Фубини, полу* чим
00
z (и) — ^ e~ituz (t) dt =
— оо
ОО 00
= J J e~iu^~s)h(t — s)e~iusx(s)dsdt = H{iu)x(u),
— OO —00
oo
x («)= ^ eiusx (s) ds.
— oo
§ 4] ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 277
Следовательно, отношение преобразования Фурье функции на выходе к преобразованию Фурье функции на входе не зависит от функции на входе системы и равно ее частотной характеристике:
В формуле (1) реакция системы в момент времени t зависит от значений функции на входе как в моменты времени s <С t, так и в моменты времени s > t. В физических устройствах, однако, нет возможности предвосхитить будущее. Поэтому для них
h{t, s) = 0 при t < s. (4).
Соотношение (4) называется условием физической осуществимости системы. Для систем, удовлетворяющих условию (4), формула (1) принимает вид
/
z(t) = ^ h(t, s) х (s) ds, (5)
— oo
а если система однородна, то
/ оо
z(t) — ^ h(t — s)x(s) ds — ^ h(s)x(t — s)ds. (6)
— oo 0
Если на вход системы подается функция, начиная с момента, времени 0 (х (s) = 0 при s < 0), то
t
-z(t)—^h(t — s)x(s) ds. (7)
о
Изучая такие системы, вместо преобразования Фурье удобно пользоваться преобразованием Лапласа
оо
z(p)—^e-Piz(t)dt. (8)‘
