Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда
Я
^ | In I g (relu) 11 du = ^ In | g (reia) \ du —
— л В
я
— ^ In I g (retu) \ du = 2 ^ In | g (reiu) | du — ^ In | g (reia) I du.
А В —я
Из формулы Иенсена вытекает, что при /(0) = 1
^('п1/(г^)1«“ = 1пПТ^Т>0,
-Я /? — 1 к '
где zA — нули функции f(z) внутри круга \z\<. г. Следовательно,
Я
^ | In | g (reiu) 11 du < 2 ^ In I g (reltt) | du < ^ | g (reiu) |2 du <
—я В В
Я оо
< J |g(re'“)l2^<2nj]|aj2.
~Я П = 0
Применяя лемму Фату, получим
Я Я
^ | In |g(e‘“)| | du— lim| In |g(re‘“)||d«<
-n -яг/Н
Я oo
<ljm t |1п|^(ге'“)Цй?«<2яУ'|ал|2>
-я n^j
что и доказывает необходимость условия (8).
Достаточность. Пусть условие (8) выполнено. Функция
я
v(r,Q) = ~^lnf(u)P(r,Q,u)du
§ Б] ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 289
является гармонической в круге D ={z: |z|< 1}. Из неравен-ства Иен сен а следует
v(r, 0)<1п| j / (и) Р (г, 6, u)du\.
' -Я /
Обозначим через <p(z) аналитическую функцию в D с дей-
— (2)
ствительной частью v(г, 0). Положим g(z) — e2 . Тогда
Я
| g(reie) |2 = eRe ф (г) = (/•. e)^_L ^ f(u)P(r, 0, u)du
— Я
и
^ I g(rem) I2 d0 < jj | / (и) | du < оо.
-Я ~Л
lim v (г, 0)
Таким образом, g(z)<=H2 и lim | g(reie) |2 = е'*1 =/(0)
/•-М
почти всюду. Теорема доказана.
Замечание 1. Как вытекает из доказательства теоремы, функция g(z) может быть выбрана так, чтобы при z = 0 она была положительной и не имела нулей в D.
Замечание 2. Функция g(z), существование которой установлено теоремой 1, определяется не единственным образом. Но если g(z) удовлетворяет условиям
a) g(z)?= 0, z ^ D, б) g(0)>0, то она единственна и, следовательно, совпадает с найденной нами.
Действительно, если gi(z) (i — 1, 2) — две такие функции,
то т|? (г) = g1 аналитична в D, не обращается в нуль и на
границе D по модулю равна единице. Функция lni|)(z) является аналитической в А и на границе D ее действительная часть равна нулю. Следовательно, lni|)(2)=i&, где k вещественно. Так как lniJj(O) вещественно, то lni|)(z) = 0.
Сопоставляя лемму 1 и теорему 1, получим следующее утверждение.
Теорема 2. Для того чтобы последовательность ri(/)' могла быть представлена в виде
оо со
Л(0 = Z anl(t — п), Ц|а„|2<оо,
11 = 0 л=0
где |(/г)—некоррелированная последовательность, необходимо и достаточно, чтобы т}(/) имела абсолютно непрерывную спектральную меру, а ее спектральная плотность f(u) удовлетворяла
290
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ГГЛ. V
требованию
Я
Пусть 5i(at), х^Х,—две гильбертовы случайные
функции. Через S2 {?*} обозначим замкнутую линейную оболочку системы случайных величин {?*(*)> х е X} в i?2-
Определение. Если S’2(li)cz S'2(^,2), то случайная функция ?i(x) называется подчиненной ?г(*). Если же i?2(?i) = = 5^2 (S2). го gi (лг) и ?2 (*) называются эквивалентными.
Замечание. Как вытекает из доказательства леммы 1, последовательности %(п) и ri(n) эквивалентны.
Покажем, как можно выразить коэффициенты а„ в операции скользящего суммирования через спектральную плотность f(u) последовательности г|(^).
Введенная при доказательстве теоремы 1 функция <р(г) является аналитической функцией в D, действительная часть которой имеет граничные значения In/(и). Следовательно, по формуле Шварца
Я
О)
Разлагая функцию
в степенной ряд
оо
g(z)—Y,bnzn, получим следующие значения для коэффи-
циентов ап:
ап — л/2п Ьп.
С другой стороны, выражение для g(z) можно преобразовать следующим образом. Так как
