Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
1?(Д)!2=Е|?* (A) I2.
Предположим, что
1) М|С(Д)Р<оо, ?(0) = О;
2) s (Ai и д2) = ? (А]) + ? (Д2) (mod Р), если Д, П Д2 = 0;
3) Mlk (Д,) ?/(?/) = т) (Д, П Aj), А, е 2», i = 1, 2; k, j = = 1, ..., p.
Семейство случайных векторов {?(Д)> AeSPl} будем называть элементарной векторной стохастической (ортогональной) мерой, а матрицу m (Д) = {mf (Д)| = М? (Д) ?* (Д) — структурной матрицей.
Отметим, что, как функция от и Дг, матрица т^ПДг) обладает свойствами корреляционной матрицы векторной случайной функции. Кроме того, если Д| П Д2 = 0, то
m (Д! (J Д2) = tn (ДО + m (Д2).
Отсюда следует, что диагональные элементы матрицы т(Д) являются предмерами. Кроме того, из неравенства
\tnkj (Д)|(A)tnj(Д) (15)
следует
2 М (д,)1 < {? < (д.) I (\)}". «в)
и, значит, функции множеств m* (&, j— 1, ..р) имеют ограниченную вариацию на Д.
р
Положим mо (Д) = Эрт(Д) = ? т* (Д). Из (16) следует также,
k-i
mN
что если 2j (А^)-*¦ 0 при N-*¦ оо, то и ? |т) (Д^) | О*
Отсюда вытекает, что функции т^(Д) могут быть продолжены до счетно аддитивных функций множеств на S3, если функция /По(Д) полуаддитивна на ЗИ.
В дальнейшем матричные функции, полученные путем такого продолжения из структурной функции элементарной
268
ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
ортогональной стохастической меры, будем называть положительно определенными матричными мерами.
Выше © обозначало пополнение а{ЗЯ) относительно продол* женной элементарной меры mQ(А). Простоты ради для продол* жений функций пг*, т0 и матрицы т на 8 сохраним первона* чальные обозначения, причем в дальнейшем будем считать, что т0(А) полуаддитивна на 2Я.
Определим на 2?o{W} стохастический интеграл с помощью формулы
интеграла является случайный вектор (столбец) со значениями в Zp. Через 3?% (?) обозначим совокупность всех случайных
М ( J f (х) I (dx) (dx)) ) = \f(x)g{x)m (dx). (18)
Формула (17) устанавливает изометрическое отображение т] = = ty(f) пространства 2?о{Щ на {?}, если в 3?$ {?} скаляр* ное произведение элементов rii и т}2 определяется как Mri*^.
Замыкание пространства случайных величин &% {?} обозначим через 3?2 {?}, а пополнение J?0{2R} — через j?2{2K).
Аналогично неравенству (16) выводится неравенство
J I f (х) \ | т) | (dx) < { J | / (х) 1/7г* (dx) ^ | f (х) | т* (dx) |!/2, (20)
Л
Л = 5 f (х) I (dx) = J] Ckl (A*),
(17)
Л
если / (х) — X сАхд (л:), Ак е Эй (k=\, ..., п). Значением этого
П
я
M(\f(xn(dx)(\g(х) ? (dx)) ) = ? ckdkm (А*),
Отсюда следует равенство
М| J f(x)l(dx) 2= J I/M I2т0(dx).
(19)
Введем в 3?о{Щ скалярное произведение
(/»g) — \f(x)g{x)mo(dx).
§ 3] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ 269
где | m''l j (А)— абсолютная вариация функции ткг Из неравенства (20) вытекает существование и непрерывность интеграла
\f(x)g {х) т/ (dx)
как функционала от / и g в 3?2{т0}.
Исходя из этого, изометрическое соответствие т] = ф (/) пространства &о(Т1) на 3?п{1) может быть продолжено до изометрического соответствия 3?2{Щ на 9?% {?}. При этом случайный вектор г] называют стохастическим интегралом и пишут
Л = \f (x)l (dx),
где f(x)^S?2(mQ).
Аналогично понятию стохастической меры в скалярном случае может быть определена векторная стохастическая мера I (Л).
I § 3. Интегральные представления случайных функций
Используя результаты предыдущего параграфа, можно получать различные представления случайных функций с помощью стохастических интегралов.
Предположим сначала, что /7-мерная векторная случайная функция ?(0), 0G0, может быть представлена в виде
Е(е) = $я(0, х)Шх), (1)
где ? — стохастическая мера на измеримом пространстве {X, S3} со значениями в Z” и структурной матрицей т.(А) (мы используем здесь обозначения предыдущего параграфа), g(0, л:) — скалярная функция и при каждом 0е0
g (0, *) <= 23 {m0} = &2 {X, 23, mo}, m0 (А) — Sp т (Л).
В силу формулы (18) § 2 ковариационная матрица случайной функции |(0) имеет вид
В (0,, 02) = Ml (0,) |* (0а) = J g (0„ х) 7КТ) т (dx), (2)
а из (19) § 2 следует, что
М?* (02) I (0i) = J g (0i, *) g (02, х) т0 (dx). (3)
Напомним, что {X, S3, т0} — пространство с полной мерой, —гильбертово пространство 53-измеримых комплексно-значных функций с т0-интегрируемым квадратом.
270 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Через S2{g} обозначим замыкание в Si {т0} линейной обо* лочки, порожденной системой функций {g(9, х), 0е0}. Тогда 3>2{g} есть линейное замкнутое подпространство Si{т0}. Если ¦SMg} = Si{mo}, то система функций {g(9, х), 0 е 0} называется полной в Si{m0}.
