Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
к пределу при п —*¦ оо, получим утверждение леммы в общем случае. ¦
Лемма 2. Если А (= 2}0, то
Заметим прежде всего, что g(*) = 0 на множестве /-меры 0; таким образом, - т-т Ф °° (mod I). Далее,
S 1 ^ = S "йТ^Тр 18 ^|2 m ^ m ^Л) < 00¦
Следовательно, можно воспользоваться леммой 1:
J Ха (х) Я (dx) = J j~ Ха (х) g (х) ? (dx) = ? (Л). Ш
Пусть Т — конечный или бесконечный отрезок на прямой линии, 81—ст-алгебра подмножеств Т, измеримых по Лебегу, / — мера Лебега.
Допустим, что g(t, х) Э1 X S-измерима, g(t, х)i= j?2 {/ X mY\ и g(t, х)&3?2{m} при произвольном <еГ. Рассмотрим стохастический интеграл
l(t)=[g{t,x)t(dx). (10)
При каждом t он определен с вероятностью I,
Лемма 3. Стохастический интеграл (10) можно определить как функцию от t таким образом, чтобы процесс l(t) был измерим.
Доказательство. Если
g(t,x) = Z ckxBk (t) xAk (x), (11)
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
265
Bh ^ Э1, Ak е8, то I (t) — ? Съ.Хвк (0 ? (Ak) является S31 х ©-измеримой функцией переменных (t, со), t ^ Т, со <= Я. В общем случае можно построить последовательность простых функций gn(t,x) вида (11) и таких, что
Пусть %n(t) — последовательность процессов, построенных по формуле (10) при g = gn. Тогда существует процесс | (t) такой, что
и |(0 является 91 X ©-измеримой функцией от (t, со). С другой стороны,
$M|?(0-?„(№/=$$|g(*, x)-gn(t, x)fm(dx)dt^0,
откуда следует, что М|?(0—1(0|2 = 0 почти для всех t. Положим
Процесс l'(t) измерим (так как ?'(t) отличается от S31 X ©-измеримой функции ? (t) на множестве меры 0) и стохастически эквивалентен ?(/). ,Щ
В дальнейшем, рассматривая процессы, определяемые стохастическими интегралами вида (10) и удовлетворяющие ранее перечисленным условиям, будем предполагать их измеримыми. Лемма 4. Если g(t,s) и h(t) — борелевские функции,
при п —>
оо.
^ М11 (0 — (t) fdt^-О при п -> оо
? (0, если Р {? (/) Ф I (0} = 0,
I (0, если Р {? (t) Ф I (/)} > 0.
ь
5 J s)\2dim(ds) < о°, ^ | h(t) fdt < оо, (12)
ортогональная стохастическая мера на {5?1, S31}, то
\h{t) ^ g(*> s)Z{ds)dt= ^ gi(s)Z,(ds), (13)
а
—оо
где
ь
gi(s)=\h(t)g(t, s) dt.
й
266
ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V'
Доказательство. Математическое ожидание квадрата модуля интеграла в левой части равенства (13) равно
Ъ Ь / °о ч
J J h (/,) hjtj f \ g(tu s) g(t2, s) tn (ds)\dt\ dt2 —
a a —00
00 b |2
= \ \h(t)g (t, s) ЛI m (ds) <
—00 a I
b 00 ь
h(f)?dt> \ $|g(*,s) \2dtm(ds).
a —00 a
Для математического ожидания квадрата модуля в правой
части равенства (13) имеем неравенство, указанное во второй строчке последнего соотношения. Следовательно, правая и левая части равенства (13) непрерывны относительно предельного перехода по последовательностям gn(t,s), сходящимся в 3?2{Ф}, где Ф — прямое произведение лебеговой меры на меру пг в полосе [а, Ь]Х(—°°, °°). Далее, множество функций g(t,s), для которых (13) верно, линейно и содержит все функции вида
2 ск%АЬ (0 Хвь (s)- Следовательно, оно содержит все функции из 2*2 {Ф}. ¦
Замечание. Если условия леммы 4 выполнены для каж~ дого конечного отрезка (а, Ь) и существует интеграл
оо Ъ
\ h(t)g (t, s) dt = lim \h (t) g (t, s) dt
J д->—00 J
-00 b->+ oofl
в смысле сходимости в 9?2 {пг}, то
оо оо оо
5 h(t) 5 g(t, s) ? (ds) dt = J fi(s)?(ds), (14)
— 00 —OO —OO
где
oo
Ms)= J h(t)g(t, s) dt.
— 00
Доказательство непосредственно вытекает из того, что левая часть равенства (14) является с. к. пределом левой части равенства (13), и из возможности перехода к пределу под знаком стохастического интеграла в правой части формулы (13). ¦ Рассмотрим теперь обобщение предыдущих результатов на векторные стохастические меры. Ограничимся простейшим случаем интегрирования скалярных функций, мало чем отличающимся от интегрирования по числовым стохастическим мерам.
$ 2] СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ 267
Пусть Z обозначает некоторое комплексное векторное пространство размерности р. Для простоты будем считать, что некоторый базис в этом пространстве фиксирован. Допустим, что каждому Д е ЕЙ поставлена в соответствие векторная случайная величина ?(Д) со значениями в Zp, ?(Д) = {?‘(Д)> ?2(А)> ••• ..., ^р(Д)}. Через |?(Д)1 обозначим норму вектора t,(A),
