Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
о
Из формулы (7) следует, что
оо
z(p) = H (р) X (р), х(р)=^е-р*х (t) dt (9>
о
при Re р ^ а, если функции e~ath(t) и e~atx(t) абсолютно интегрируемы.
Перейдем к основной теме настоящего параграфа — к линейным преобразованиям случайных процессов. В основном-
•278
ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. V
рассматриваются однородные во времени преобразования стационарных процессов. По поводу более общего случая мы ограничимся простыми замечаниями.
Пусть l(t)—измеримый гильбертов процесс (—oo<.t<. оо) с ковариацией B(t, s), причем функция B(t, t) интегрируема по t на каждом конечном интервале, так же как и функция | h(s, /)|2 при фиксированном s. Тогда с вероятностью 1 при любых а и Ь существует интеграл
ь
s)l(s)ds. (10)
а
Определим несобственный интеграл от — оо до оо как с. к. пре-дел интегралов по конечным промежуткам интегрирования:
ОО b
( h{t, s)g(s)rfs = l.i.m. t h{t, s)l(s)ds.
* —oo J
-°° 6->+oo a
Для существования этого предела необходимо и достаточно, чтобы интеграл
оо оо
J J h(t, Si)B(sb s2)h{t, s2)dslds2
— oo — oo
существовал как несобственный интеграл Коши на плоскости. Если он существует для t^T, то ?(/) является гильбертовым случайным процессом на Т с ковариацией
ОО оо
B(th t2) = J J h(tu Si)B(Si, s2) h {Ц, s2) dSi ds2.
— oo —oo
Предположим теперь, что ?(/)—стационарный процесс в широком смысле со спектральной мерой F(du) и Mg (<)=0. Это предположение будет сохранено до конца настоящего параграфа. Интеграл
оо
¦п(0 — \ h{t — s)l(s)ds (И)
— оо
существует (в ранее определенном смысле) тогда и только тогда, когда существует интеграл
оо оо
J ^ h(t — sl)R(sl — s2)h{t — s2)dsids2 =
- ОО —00
оо оо
= S S h Я (s2 — Si) h (s2) dsi ds2,
— 00 —00
5 fl ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 279’
где R(t)—корреляционная функция процесса. Для этого, в свою очередь, достаточно, чтобы функция h(t) была абсолютно интегрируемой на (—оо, оо). В этом случае, воспользовавшись-спектральным представлением корреляционной функции R(t), получим следующее выражение для корреляционной функции. RnVu /*) процесса т] (0:
оо оо
Rп((1> к)= 5 5 /i(t, — s,)R(si — s2)/i(t2 — s2)ds,ds2 =
— оо —оо оо оо оо
= S S S ~ si)eiu(3'~Sl)h (к —¦ s2) ds, ds2F(du) =
— ОО —ОО —00
оо
= 5 е'<*.-«« I н (iu)?F{du) = R^
— 00
Таким образом, процесс т)(/) также является стационарным-в широком смысле.
Определение. Для процесса ?(0 преобразование Т называется допустимым фильтром {или, проще, фильтром), если оно задается формулой (11), где h(t) абсолютно интегрируема на (— оо, оо) и интегрируема в квадрате на любом конечном-интервале или является с. к. пределом последовательности таких преобразований (в З^Ш)-
Условие сходимости последовательности преобразований
(11) Лп(0= ^п(Е|0 с импульсными переходными функциями hn(t) и частотными характеристиками Я„(ш) состоит в следующем:
оо
м | Т1„ (0 — Лт (О I2 = 5 \ Hn(iu) — Hm(iu)\2 F (du)-+0 (12)
— 00
при п, m—> оо.
Это означает, что последовательность Hn(iu) фундаментальна в 2’2{F}. Но тогда существует предел Н (iu) — l.i.m. Я„(ш) (в 3?2{Р}), который называют частотной характеристикой предельного фильтра, и если ri(rf) = l.i.m. Лп(0> т0
оо
Я„(0= J e»"|tf(m)|2F(du). (13>
— 00
Обратно, какова бы ни была функция Н(iu)&3>2{F}, ее можно аппроксимировать в смысле сходимости в 9?i{F} функциями, являющимися преобразованиями Фурье абсолютно*
¦280
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
интегрируемых функций. Таким образом, фильтры удобно задавать частотными характеристиками.
Теорема 1. Для того чтобы функция Н(iu) была частотной характеристикой допустимого фильтра для процесса %(t) ?о спектральной мерой F, необходимо и достаточно, чтобы Н(ш)е 3?n{F}. Корреляционная функция процесса На выходе ¦фильтра с частотной характеристикой Н(iu) дается формулой (13).
