Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
оо
4(0= J eiatl(du),
— оо
и стохастическую меру
00
^>=S <15>
— ОО
Стохастический интеграл (15) имеет смысл для произвольного
* Л %А (и)
ограниченного борелевского множества Л, так как ьцйу s ¦е SE2 {.F}, где F — спектральная мера процесса
F (Л) = J | h (iu) |2 du.
A
Легко заметить, что ц(Л) является ортогональной мерой, причем
Мц(Л)ц(В)= ( du.
АПВ
294 "" ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Положим
4-00
1 f _ -iut,
т-т=' \ (16)
— ОО
Очевидно, что стохастический интеграл (16) существует. Случайная функция интервала |(А) = ?(/г) — €(^)> А == !?ь h)> является элементарной мерой, соответствующей стандартному процессу. Действительно, М|(А)=0. Далее, используя равенство Парсеваля для интегралов Фурье, получим
00
1 Г р~1и*1 — P~iut 1 Piuti — plutz
МЦАШ^-i \ -- —5Г du =
— ОО
оо
= S Хд, (0 Хд2 (0 ^ / (А1П л2),
— оо
где Ai = [/i, t2), Аг = [/з,/4), I — лебегова мера на прямой. На бсновании леммы 1 § 2 и формулы (15) получаем
оо
т] (/) = ^ eiuth{iu)\i{du). (17)
— 00
Заметим теперь, что если
оо оо
h{iu) — —4=- ^ a(s)eiusds, где ^ | a(s) |2ds < 00,
— ОО —00
ТО
ОО 00
^ h{iu)n(du)— ^ а{— s)l(ds). (18)
— 00 —00
Действительно, так как пространства З’гМ и 3?2{1} изоморфны пространству 9?z{l}, где U—лебегова мера на прямой (— оо, оо), и преобразование Фурье не меняет скалярного произведения в 3?2{t}, то формулу (18) достаточно проверить для простых функций. Пусть a(t) — E сДдА (0, гДе Ал — интервал (или полуинтервал) (ah, bh). Тогда
00 °о 1 ±.
С 1 Г ж—1 * k
\ a(-s)l(ds) = -j= \ ----JT-----**№)•
—00 — 00 к '
§ 5] ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 295
что является частным случаем (18). Итак, формула (18) установлена. Из (18) вытекает, что
00 оо
^ eiath(iu)du — ^ a(s)dg(t— s), (19)
— ОО —00
так как умножение меры ?(•) на еш в силу формулы (16) приводит к сдвигу аргумента функции ?(•) на t. Из (17) и (19) получим
оо оо
rj (0 = ^ a (s) dl (t — s), где a (t) — ~^==~ J ^ (l'M) e~‘ut du- ®
О —CO
Пусть задана спектральная плотность f(u) процесса rj(0-Возникают следующие вопросы. Когда спектральная плотность допускает представление (13), (14) (или, как говорят, факторизацию)? Как найти по функции /(и) функцию h(iu) (а следовательно, и функцию a(t))} Ответы на эти теоретико-функциональные вопросы можно получить, сведя их к уже решенным вопросам для случая факторизации функций на окружно-
1 4- z
сти. Введем преобразование to = j-——-, отображающее круг
D = {z: |zj < 1} в правую полуплоскость П+={ш: Reto>0}. На границе соответствующих областей (со = iu, г = eiB) это
преобразование имеет вид и = ctg-^-* Пусть /(«) допускает
факторизацию (13), (14). Положим
g(z) = (l + <в)А((о) = -г|— h (•—]
1-2 4 1 z) I (20)
f(B)=f(u)(l+u2). J
Функция f(Q) допускает факторизацию \f (0) | = |g(eie) [2, где g(z) аналитична в D и интегрируема на (—л, л),
Л оо
^ f(9)de = 2 ^ f(u)du< оо,
—Я —оо
т. е. g(z)e Н2. В силу теоремы 1
Л со
-оо< J In f (0) d0 = 2 J ¦ln-; {u) +^11-+!й. du,
—П —oo
откуда
. (2D
296 ЛИНЕПНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
